Ruang Barisan-p

Hendra Gunawan

Saya pikir saya pernah menulis tentang ruang barisan-p secara khusus, tetapi ternyata belum. Ruang barisan-p termasuk objek kajian saya selama bertahun-tahun. Ruang ini beranggotakan semua barisan bilangan x=(x_k) dengan

\sum_{k=1}^\infty |x_k|^p <\infty.

Di sini 1\le p\le \infty dan bilangan x_k adalah bilangan kompleks. Namun, untuk mudahnya, kita asumsikan x_k\in\mathbb{R} untuk setiap k\in\mathbb{N}. O ya, untuk p=\infty, deret di atas digantikan dengan {\rm maks} \, \{ |x_k|\, : \, k\in\mathbb{N}\}.

Ruang barisan-p, yang lazim dinotasikan dengan \ell^p, merupakan ruang bernorma dengan norma

\|x\|_p:=\Bigl(\sum_{k=1}^\infty |x_k|^p\Bigr)^{1/p},

jika 1\le p<\infty, atau

\|x\|_\infty:={\rm maks} \, \{|x_k|\,:\,k\in\mathbb{N}\},

jika p=\infty. Untuk p=2, ruang \ell^2 merupakan ruang hasil kali dalam dengan hasil kali dalam

\langle x,y\rangle:=\sum_{k=1}^\infty x_ky_k.

Semua ruang barisan ini merupakan ruang yang lengkap (terhadap normanya).

Untuk barisan terhingga, kita mempunyai ketaksamaan p-q. Sebagai akibatnya, kita mempunyai hubungan inklusi berikut di antara ruang barisan-p dan ruang barisan-q: jika 1\le q\le p \le \infty, maka \ell^q \subseteq \ell^p.

Bila ruang Lebesgue L^p dapat diperluas ke ruang Morrey M^p_q, ruang barisan \ell^p dapat diperluas ke ruang Morrey diskrit \ell^p_q. Bagaimana persisnya, tunggu artikel hari Sabtu ya..

*

Bandung, 26-11-2019

Published by Hendra Gunawan

I'm a professor of mathematics at the Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Bandung Institute of Technology, Bandung, Indonesia.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s