Fungsi Eksponen Natural

Karena fungsi y=\ln x mempunyai turunan y^\prime=\frac{1}{x} yang bernilai positif untuk setiap x>0, maka ia memiliki invers. Nah, sebutlah inversnya adalah y=\exp x. Dalam hal ini,

y=\exp x jika dan hanya jika x=\ln y.

Untuk sementara, ‘exp’ di sini hanya nama, seperti halnya ‘ln’, ‘sin’, dan ‘cos’. Kita belum tahu apakah fungsi ‘exp’ ini merupakan fungsi eksponen atau bukan.

Bila fungsi y=\ln x terdefinisi hanya untuk x>0, fungsi y=\exp x terdefinisi untuk seluruh x\in\mathbb{R}. Catat bahwa

\exp(\ln x) = x untuk setiap x>0

dan

\ln(\exp y) = y untuk setiap y\in\mathbb{R}.

Sebagai invers dari fungsi logaritma natural, fungsi y=\exp x dikenal sebagai fungsi eksponen natural. Pertanyaannya adalah: apakah ia memang merupakan fungsi eksponen? Bila ya, berapa bilangan basisnya?

Untuk menjawab pertanyaan ini, definisikan e sebagai bilangan real yang memenuhi persamaan \ln e=\int_1^e \frac{1}{t}\,dt = 1. (Dengan membayangkan \int_1^e \frac{1}{t}\,dt sebagai luas daerah di bawah kurva y=\frac{1}{t},\ 1\le t\le e, bilangan e ada dan nilainya adalah e=2,718281828459045...\,.) Perhatikan bahwa

e^r = \exp(\ln e^r) = \exp(r\ln e) = \exp r,

setidaknya untuk setiap r\in\mathbb{Q}.

Jadi, invers dari fungsi logaritma natural adalah fungsi eksponen dengan basis e. Sebagai akibatnya, fungsi logaritma natural adalah fungsi logaritma dengan basis e: \ln x = \log_e x.

*

Bandung, 23-11-2019

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s