Deret Fourier Klasik

Melanjutkan artikel tentang perlunya deret Fourier, sekarang kita bahas bagaimana sebuah fungsi yang terdefinisi pada interval [-\pi,\pi] dapat dinyatakan sebagai suatu deret Fourier atau deret trigonometri

\frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty (a_k\cos kx + b_k\sin kx),\quad -\pi\le x\le\pi.

Alasan mengapa suku konstantanya \frac{a_0}{2} bukannya a_0 akan jelas dengan sendirinya nanti.

Nah, jika fungsi f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{R} dapat dinyatakan sebagai

f(x)= \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty (a_k\cos kx + b_k\sin kx),\quad -\pi\le x\le\pi,

maka koefisien-koefisien a_0,a_1,b_1,a_2,b_2,\dots mestilah memenuhi persamaan tertentu.

Pertama, bila kita integralkan kedua ruas persamaan di atas, kita dapatkan

\int_{-\pi}^{\pi} f(x)dx=\int_{-\pi}^\pi \frac{a_0}{2}dx +\sum_{k=1}^\infty (a_k\int_{-\pi}^\pi \cos kx dx + b_k\int_{-\pi}^\pi \sin kx dx)=\pi a_0.

Dari sini kita peroleh a_0=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)dx, sehingga

\frac{a_0}{2}=\frac{1 }{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)dx,

yang tak lain merupakan nilai rata-rata f pada interval [-\pi,\pi].

Untuk mendapatkan nilai koefisien a_n, kita kalikan kedua ruas persamaan tadi dengan \cos nx, lalu kita integralkan:

\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx dx=\frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^\pi \cos nx dx +  \sum_{k=1}^\infty (a_k\int_{-\pi}^\pi \cos kx \cos nx dx + b_k\int_{-\pi}^\pi \sin kx \cos nx dx).

Setiap suku integral di ruas kanan bernilai nol kecuali untuk k=n:

\int_{-\pi}^\pi \cos kx \cos nx dx=\int_{-\pi}^\pi \cos^2 nx dx=\pi.

Jadi, kita peroleh \int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx dx=a_n\pi, sehingga

a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\cos nx dx.

Rumus ini berlaku untuk setiap n\in\mathbb{N}, termasuk untuk n=0. (Inilah alasan mengapa kita mempunyai koefisien konstanta \frac{a_0}{2} bukannya a_0.)

Selanjutnya, untuk mendapatkan nilai koefisien b_n, kita kalikan kedua ruas persamaan tadi dengan \sin nx, lalu kita integralkan sehingga pada akhirnya kita akan memperoleh

b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^\pi f(x)\sin nx dx.

Deret Fourier \frac{a_0}{2} + \sum_{k=1}^\infty (a_k\cos kx + b_k\sin kx) dengan nilai koefisien-koefisien di atas akan konvergen ke f(x) asalkan f ‘mulus’ bagian demi bagian pada [-\pi,\pi].

Sebagai contoh, jika f(x) = |x|,\ -\pi\le x\le \pi, maka f dapat dinyatakan sebagai deret Fourier

|x|=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}\cos (2n-1)x,\quad -\pi \le x \le \pi.

Catat bahwa deret Fourier merupakan fungsi periodik dengan periode 2\pi. Pembatasannya pada interval [-\pi,\pi] konvergen ke fungsi f, setidaknya hampir untuk setiap titik x\in[-\pi,\pi].

*

Bandung, 14-09-2019

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s