Perlunya Deret Fourier

Misalkan kita mempunyai seutas kawat yang panjangnya L dan penampangnya berbentuk lingkaran, terinsulasi pada permukaannya (sehingga suhu hanya dapat keluar atau masuk melalui kedua ujungnya), dan suhu pada kedua ujungnya dipertahankan tetap sama dengan nol.

.

Bila kawat tersebut kemudian mengalami perubahan panas (katakan karena dipanasi), maka suhu pada kawat tersebut akan memenuhi persamaan panas atau persamaan difusi dengan syarat batas Di sini menyatakan suhu kawat pada posisi dan saat turunan parsial terhadap dan turunan parsial kedua terhadap sementara k adalah konstanta difusi.

Dengan pemisahan peubah, kita misalkan Maka, kita akan peroleh

dengan Selanjutnya, dengan membagi kedua ruas persamaan dengan kita dapatkan

Karena ruas kiri hanya bergantung pada sementara ruas kanan hanya bergantung pada kedua ruas tersebut mestilah sama dengan suatu konstanta sehingga

Persamaan (1) merupakan persamaan diferensial biasa orde 1 (dalam ) solusi umumnya adalah

Sementara itu, persamaan (2) merupakan persamaan diferensial biasa orde 2 (dalam ) solusi umumnya adalah

dengan menyatakan bilangan kompleks yang memenuhi persamaan . (Secara umum merupakan konstanta kompleks.)

Persyaratan memaksa dan memberikan Dengan menganggap kita peroleh yang berarti bahwa dan karenanya dengan Namun di sini kita cukup mengambil mengingat kasus hanya menghasilkan solusi nol dan penggantian dengan sama saja dengan penggantian dengan Dengan demikian kita peroleh solusi

untuk setiap Dengan mengambil kombinasi linearnya dan dengan proses limit, kita mempunyai solusi yang berbentuk deret

dengan untuk setiap

Misalkan, sebagai informasi tambahan, diketahui syarat awal Solusi di atas akan memenuhi syarat ini jika dan hanya jika koefisien memenuhi

Masalahnya kemudian adalah adakah yang memenuhi persamaan ini dan, bila ada, bagaimana menentukannya. Tunggu artikel selanjutnya tentang Deret Fourier.

*

Bandung, 31-08-2019