Bermatematika

Blog Matematika ala Hendra Gunawan

Perlunya Deret Fourier

Misalkan kita mempunyai seutas kawat yang panjangnya L dan penampangnya berbentuk lingkaran, terinsulasi pada permukaannya (sehingga suhu hanya dapat keluar atau masuk melalui kedua ujungnya), dan suhu pada kedua ujungnya dipertahankan tetap sama dengan nol.

.

Bila kawat tersebut kemudian mengalami perubahan panas (katakan karena dipanasi), maka suhu pada kawat tersebut akan memenuhi persamaan panas atau persamaan difusi u_t=ku_{xx} dengan syarat batas u(0,t)=u(L,t)=0. Di sini u(x,t) menyatakan suhu kawat pada posisi x \in [0,L] dan saat t\ge0, u_t turunan parsial terhadap t, dan u_{xx} turunan parsial kedua terhadap x; sementara k adalah konstanta difusi.

Dengan pemisahan peubah, kita misalkan u(x,t):=X(x)T(t). Maka, kita akan peroleh

X(x)T'(t)=kX''(x)T(t),

dengan X(0)=X(L)=0. Selanjutnya, dengan membagi kedua ruas persamaan dengan kX(x)T(t), kita dapatkan

{{T'(t)}\over{kT(t)}}={{X''(x)}\over{X(x)}}.

Karena ruas kiri hanya bergantung pada t, sementara ruas kanan hanya bergantung pada x, kedua ruas tersebut mestilah sama dengan suatu konstanta A, sehingga

T'(t)=AkT(t);\quad (1)

X''(x)=AX(x).\quad (2)

Persamaan (1) merupakan persamaan diferensial biasa orde 1 (dalam t;) solusi umumnya adalah

T(t)=C_0e^{Akt},\quad t\ge 0.

Sementara itu, persamaan (2) merupakan persamaan diferensial biasa orde 2 (dalam x;) solusi umumnya adalah

X(x)=C_1\cos \lambda x + C_2\sin \lambda x,\quad 0\le x\le L,

dengan \lambda=\sqrt{-A} menyatakan bilangan kompleks yang memenuhi persamaan \lambda^2+A=0. (Secara umum A merupakan konstanta kompleks.)

Persyaratan X(0)=0 memaksa C_1=0, dan X(L)=0 memberikan C_2\sin \lambda L=0. Dengan menganggap C_2\not=0, kita peroleh \sin \lambda L=0 yang berarti bahwa \lambda L=n\pi dan karenanya A=-\bigl({{n\pi}\over L}\bigr)^2, dengan n\in\mathbb{Z}. Namun di sini kita cukup mengambil n\in\mathbb{N} mengingat kasus n=0 hanya menghasilkan solusi nol dan penggantian n dengan -n sama saja dengan penggantian C_2 dengan -C_2. Dengan demikian kita peroleh solusi

u_n(x,t)=e^{-({{n\pi}\over L})^2kt}\sin{{n\pi x}\over L},\quad 0\le x \le L,\ t\ge 0,

untuk setiap n\in\mathbb{N}. Dengan mengambil kombinasi linearnya dan dengan proses limit, kita mempunyai solusi yang berbentuk deret

u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty a_n e^{-({{n\pi}\over L})^2kt}\sin{{n\pi x}\over L},\quad 0\le x\le L,\ t\ge 0,

dengan a_n\in \mathbb{R} untuk setiap n\in\mathbb{N}.

Misalkan, sebagai informasi tambahan, diketahui syarat awal u(x,0):=f(x),\ x\in[0,L]. Solusi di atas akan memenuhi syarat ini jika dan hanya jika koefisien a_n memenuhi

f(x)=\sum_{n=1}^\infty a_n \sin{{n\pi x}\over L},\quad 0\le x\le L.

Masalahnya kemudian adalah adakah a_n yang memenuhi persamaan ini dan, bila ada, bagaimana menentukannya. Tunggu artikel selanjutnya tentang Deret Fourier.

*

Bandung, 31-08-2019

Advertisements

One comment on “Perlunya Deret Fourier

  1. Pingback: Deret Fourier Klasik – Bermatematika

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s

Information

This entry was posted on 31/08/2019 by in Artikel and tagged , , , , .
%d bloggers like this: