Ruang Konveks Tegas

Di ruang bernorma (X,\|\cdot\|), berlaku ketaksamaan segitiga: \|x+y\|\le\|x\|+\|y\| untuk setiap x,y\in X. Jadi, jika \|x\|=\|y\|=1 (yakni, x dan y berada pada lingkaran satuan), maka \|x+y\|\le 2 atau \bigl\|\frac{x+y}{2}\bigr\|\le 1 (yakni, \frac{x+y}{2} berada di dalam atau pada lingkaran satuan).

Ruang bernorma (X,\|\cdot\|) dikatakan konveks tegas apabila untuk setiap x\not=y dengan \|x\|=\|y\|=1 berlaku \|x+y\|<2. Jadi, pada ruang bernorma konveks tegas, jika x\not=y dan keduanya berada pada lingkaran satuan, maka \frac{x+y}{2} haruslah berada di dalam lingkaran satuan.

Sebagai contoh, ruang {\bf R}^2 dengan norma Euclid \|x\|_2:=\sqrt{x_1^2+x_2^2} merupakan ruang konveks tegas. Tetapi, ruang {\bf R}^2 dengan norma \|x\|_1:=|x_1|+|x_2| bukan ruang konveks tegas. Lingkaran satuan di {\bf R}^2 dengan norma \|\cdot\|_1 berbentuk seperti di bawah ini:

Perhatikan bahwa x=(1,0) dan y=(0,1) berada pada lingkaran satuan, tetapi \|x+y\|=\|(1,1)\|=2, sehingga \frac{x+y}{2} juga berada pada lingkaran satuan, tidak di dalam lingkaran satuan.

*

Bandung, 13-07-2019

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s