Ortogonalitas-b di Ruang Bernorma-2

Hendra Gunawan

Dalam artikel terdahulu tentang ortogonalitas di ruang bernorma-2, saya telah menceritakan hasil penelitian saya bersama Mashadi dkk yang dipublikasikan di sebuah jurnal di Beograd pada tahun 2006. Apa yang kami lakukan pada saat itu adalah memperbaiki hasil yang diperoleh peneliti lain tentang ortogonalitas di ruang bernorma-2. Sebagai contoh, mereka mendefinisikan ortogonalitas-P di ruang bernorma-2 (X,\|\cdot,\cdot\|) sebagai berikut:

x \perp_P y\ {\rm jika~dan~hanya~jika}\ \|x+y,z\|^2=\|x,z\|^2+\|y,z\|^2\ {\rm untuk~setiap}\ z\not=0.

Di sini, persyaratan bahwa kesamaan di atas berlaku untuk setiap z\not=0 terlalu ketat, sehingga tidak terdapat x dan y yang memenuhinya, kecuali x=0 atau y=0. Sebagai revisinya, kami mengusulkan definisi ortogonalitas-P sebagai berikut:

x \perp_P y \ {\rm jika~dan~hanya~jika~terdapat~suatu~subruang}\ V\,{\rm dengan~codim}(V)=1\ {\rm sedemikian~sehingga}\ \|x+y,z\|^2=\|x,z\|^2+\|y,z\|^2\ {\rm untuk~setiap}\ z\in V.

Pada tahun 2007, Mazaheri dan Nezhad mendefinisikan ortogonalitas-b di ruang bernorma-2 (X,\|\cdot,\cdot\|) berikut:

 x \perp_{b} y\ {\rm jika~dan~hanya~jika~terdapat}\ b\in X\ {\rm dengan}\ \|x,b\|\not=0\ {\rm sedemikian~sehingga}\ \|x,b\|\le \|x+\alpha y,b\|\ {\rm untuk~setiap}\ \alpha\in{\bf R}.

Di sini, persyaratan bahwa ketaksamaan di atas berlaku untuk suatu b\in X terlalu longgar, sehingga x \perp_b y untuk setiap pasangan x dan y yang bebas linear.

Bersama dengan S.M. Gozali, saya mengusulkan revisinya, yakni x \perp_b y jika dan hanya jika terdapat suatu subruang V dengan codim(V) = 1 sedemikian sehingga ketaksamaan di atas berlaku untuk setiap b\in V. Hasil penelitian ini kami tentang ortogonalitas-b di ruang bernorma-2 kami publikasikan di J. Indones. Math. Soc. 16 (2010).

*

Bandung, 26-03-2019

Unknown's avatar

Published by Hendra Gunawan

I'm a professor of mathematics at the Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Bandung Institute of Technology, Bandung, Indonesia.

Leave a comment