Hubungan antara Ruang Lebesgue dan Ruang Morrey

Hendra Gunawan

Saya telah memperkenalkan ruang Morrey M^p_q yang anggotanya adalah fungsi f:{\bf R}^n \to {\bf R} dengan

\|f\|_{p,q} := \sup\limits_{B=B(a,r)} |B|^{1/q-1/p} \Bigl(\int_B |f(x)|^p dx\Bigr)^{1/p}<\infty.

Dalam hal p=q, kita mempunyai M^q_q=L^q — ruang Lebesgue yang anggotanya adalah fungsi f:{\bf R}^n \to {\bf R} dengan

\|f\|_q:= \Bigl(\int_{{\bf R}^n} |f(x)|^q dx\Bigr)^{1/q}<\infty.

Tidak terlalu sulit untuk memeriksa bahwa L^q \subseteq M^p_q dan inklusi ini bersifat `sejati’ untuk 1\le p<q<\infty.

Perhatikan jika f\in L^q dengan 1\le p\le q<\infty, maka untuk setiap B=B(a,R) kita peroleh (via ketaksamaan Hölder)

\int_B |f(x)|^p dx \le \Bigl(\int_B |f(x)|^q dx\Bigr)^{p/q} \Bigl(\int_B dx\Bigr)^{1-p/q} = |B|^{1-p/q} \Bigl(\int_B |f(x)|^q dx\Bigr)^{p/q}.

Pangkatkan kedua ruas dengan 1/p, kita dapatkan

\Bigl(\int_B |f(x)|^p dx\Bigr)^{1/p} \le |B|^{1/p-1/q} \Bigl(\int_B |f(x)|^q dx\Bigr)^{1/q}.

Akibatnya,

|B|^{1/q-1/p} \Bigl(\int_B |f(x)|^p dx\Bigr)^{1/p} \le \Bigl(\int_B |f(x)|^q dx\Bigr)^{1/q}<\infty,

yang berarti bahwa f\in M^p_q.

Lebih jauh, untuk 1\le p<q<\infty, Anda dapat memeriksa bahwa f(x):=|x|^{-n/q} merupakan anggota M^p_q tetapi bukan anggota L^q. Ini berarti bahwa inklusi L^q \subset M^p_q merupakan inklusi sejati.

*

Bandung, 30-03-2019

Published by Hendra Gunawan

I'm a professor of mathematics at the Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Bandung Institute of Technology, Bandung, Indonesia.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s