Sistem Chebyshev

Dalam masalah interpolasi, ambillah contoh yang paling sederhana: misal x_1<x_2 dan kita ingin menginterpolasi dua titik (x_1,c_1) dan (x_2,c_2) dengan suatu fungsi yang merupakan kombinasi linear dari f_1 dan f_2, kita bertanya: apakah syarat cukup untuk kedua fungsi tersebut agar masalah interpolasinya mempunyai solusi?

Sejenak Anda mungkin berpikir bahwa kedua fungsi f_1 dan f_2 cukup bebas linear (yakni, persamaan \alpha_1f_1(x)+\alpha_2f_2(x)=0 untuk setiap x\in[x_1,x_2] hanya dipenuhi oleh \alpha_1=\alpha_2=0). Tetapi, saya bisa memberi contoh bahwa kebebasan linear f_1 dan f_2 tidaklah cukup untuk menjamin keberadaan solusi masalah interpolasi di atas. Ambillah f_1(x) = 1 dan f_2(x) = x-x^2. Kedua fungsi ini bebas linear, tetapi tidak dapat menginterpolasi dua titik (0,1) dan (1,2) (sila cek!).

Bila kebebasan linear tidak cukup, lalu syarat apa yang mesti dipenuhi oleh f_1 dan f_2, agar masalah interpolasi di atas mempunyai solusi? Jawabannya adalah bahwa \{f_1,f_2\} membentuk sistem Chebyshev setidaknya pada domain yang menjadi kajian, yakni {\rm det}[f_j(x_i)]_{i,j}\not=0 untuk setiap x_1 dan x_2 dalam domain kajian.

Nah, pada tahun 2010, saya dan Lukita Ambarwati (ketika itu sedang menempuh studi S3 di bawah bimbingan saya) mempelajari sistem Chebyshev pada {\bf R}^N dalam rangka meneliti masalah interpolasi di {\bf R}^N. Bila Anda tertarik membaca papernya, sila tengok ”On the product of N Chebyshev systems” yang terbit di IJMSA 1 no. 3 (2010).

*

Bandung, 02-04-2019

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s