Fungsi Pangkat Negatif di Ruang Morrey

Salah satu contoh penting anggota ruang Morrey M^p_q({\bf R}^n) (1\le p<q<\infty) adalah fungsi f(x):=|x|^{-n/q}. Ada fakta menarik yang kita temukan tentang fungsi ini ketika kita menghitung normanya di ruang Morrey.

Ingat bahwa norma fungsi f di ruang Morrey M^p_q({\bf R}^n) didefinisikan sebagai

\|f\|_{M^p_q}:= \sup\limits_{B=B(a,R)} |B|^{1/q-1/p} \Bigl( \int_B |f(x)|^p dx\Bigr)^{1/p}.

Nah, mengingat f(x):=|x|^{-n/q} merupakan fungsi yang monoton turun secara radial, nilai supremum di atas akan tercapai di a=0, yakni

\|f\|_{M^p_q}:= \sup\limits_{B=B(0,R)} |B|^{1/q-1/p} \Bigl( \int_B |f(x)|^p dx\Bigr)^{1/p}.

Selanjutnya, untuk setiap R>0, kita hitung

\int_B |f(x)|^p dx = C_n \int_0^R r^{-np/q+n-1} dr = \frac{C_n}{n-np/q} R^{n-np/q},

dengan C_n menyatakan ‘luas’ permukaan bola satuan di {\bf R}^n.

Sementara itu, |B|^{1/q-1/p}=\bigl(\frac{C_n}{n}\bigr)^{1/q-1/p} R^{n/q-n/p}. Dengan demikian kita peroleh

|B|^{1/q-1/p}\Bigl( \int_B |f(x)|^p dx\Bigr)^{1/p}=\bigl(\frac{C_n}{n}\bigr)^{1/q}(1-p/q)^{-1/p},

yang tidak bergantung pada R. Jadi, kita simpulkan bahwa

\|f\|_{M^p_q}=\bigl(\frac{C_n}{n}\bigr)^{1/q}(1-p/q)^{-1/p}.

Fakta ini kelak saya gunakan dalam membuktikan sejumlah hasil penting tentang ruang Morrey.

*

Bandung, 06-04-2019

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s