Himpunan Bilangan Asli ala Von Neumann dan Aksioma Peano

Konstruksi himpunan bilangan asli yang dimulai dari \{\ \} sebagaimana dibahas dalam artikel hari Sabtu yang lalu merupakan gagasan kreatif dari John von Neumann (1903-1957).

Dengan memadankan \{\ \} dengan bilangan 0, dan mendefinisikan fungsi suksesor

S(x) = x \cup \{x\} untuk setiap himpunan x,

kita peroleh secara rekursif

0 = \{\ \},

1 = 0 \cup \{0\} = \{0\} = \{\{\ \}\},

2 = 1 \cup \{1\} = \{0, 1\} = \{\{\ \}, \{\{\ \}\}\},

3 = 2 \cup \{2\} = \{0, 1, 2\} = \{\{\ \}, \{\{\ \}\}, \{\{\ \}, \{\{\ \}\}\}\},

\vdots

n = n-1 \cup \{n-1\} = \{0,1, \dots, n-1\} = \{ \{\ \}, \{\{\ \}\}, \dots, \{\{\ \}, \{\{\ \}\}, \dots\} \},

dan seterusnya.

Perhatikan bahwa setiap bilangan asli n dalam hal ini merupakan himpunan dari semua bilangan asli yang lebih kecil daripadanya.

Anda dapat memeriksa bahwa himpunan bilangan asli yang didefinisikan dengan cara di atas memenuhi Aksioma Peano, yaitu

  • setiap bilangan asli mempunyai suksesor;
  • 0 bukan suksesor dari bilangan asli manapun;
  • jika suksesor dari x sama dengan suksesor dari y, maka x=y;
  • jika suatu pernyataan benar untuk n=1 dan jika kebenaran pernyataan itu untuk suatu bilangan mengakibatkan kebenaran untuk suksesor dari bilangan tersebut, maka pernyataan itu benar untuk setiap bilangan asli.

Aksioma keempat dikenal sebagai Prinsip Induksi Matematika.

*

Bandung, 26-01-2019

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s