Konstruksi himpunan bilangan asli yang dimulai dari sebagaimana dibahas dalam artikel hari Sabtu yang lalu merupakan gagasan kreatif dari John von Neumann (1903-1957).
Dengan memadankan dengan bilangan 0, dan mendefinisikan fungsi suksesor
untuk setiap himpunan
kita peroleh secara rekursif
dan seterusnya.
Perhatikan bahwa setiap bilangan asli dalam hal ini merupakan himpunan dari semua bilangan asli yang lebih kecil daripadanya.
Anda dapat memeriksa bahwa himpunan bilangan asli yang didefinisikan dengan cara di atas memenuhi Aksioma Peano, yaitu
setiap bilangan asli mempunyai suksesor;
0 bukan suksesor dari bilangan asli manapun;
jika suksesor dari sama dengan suksesor dari maka
jika suatu pernyataan benar untuk dan jika kebenaran pernyataan itu untuk suatu bilangan mengakibatkan kebenaran untuk suksesor dari bilangan tersebut, maka pernyataan itu benar untuk setiap bilangan asli.
Aksioma keempat dikenal sebagai Prinsip Induksi Matematika.
I'm a professor of mathematics at the Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Bandung Institute of Technology, Bandung, Indonesia.
View all posts by Hendra Gunawan
sama dengan suksesor dari
maka
dan jika kebenaran pernyataan itu untuk suatu bilangan mengakibatkan kebenaran untuk suksesor dari bilangan tersebut, maka pernyataan itu benar untuk setiap bilangan asli.
Bermatematika 