Sudut Antara Dua Subruang

Konsep sudut antara dua vektor serta antara vektor dan bidang merupakan konsep yang penting, setidaknya dalam statistika. Sebagai contoh, dalam persoalan regresi linear, diberikan n titik data, (x_1, y_1), (x_2, y_2), \dots, (x_n,y_n), kita diminta mencari suatu persamaan garis y=ax+b yang menghampiri data tersebut, dengan galat (error) sekecil-kecilnya.

Dalam perkataan lain, persamaan y=ax+b yang diinginkan merupakan hampiran linear terbaik untuk data yang diberikan. Dengan kalkulus, dapat diperoleh rumus untuk kedua koefisien a dan b yang memenuhi kriteria tersebut (sila cari di buku-buku statistika).

Persoalan mencari hampiran linear terbaik dapat pula ditinjau dengan menggunakan pendekatan aljabar dan geometri. Tinjau vektor-vektor {\bf y}:=(y_1,\dots,y_n), {\bf x}:=(x_1,\dots,x_n), dan {\bf e}:=(1,\dots,1). Andai saja vektor y berada dalam bidang yang direntang oleh vektor {\bf x} dan vektor {\bf e}, maka y=a{\bf x}+b{\bf e} untuk suatu konstanta (skalar) a dan b tertentu. Persoalannya adalah, bagaimana bila {\bf y} berada di luar bidang tersebut?

Hal yang mungkin dilakukan adalah mencari vektor \hat{\bf y} dalam bidang yang direntang oleh {\bf x} dan {\bf e} yang merupakan hampiran terbaik untuk {\bf y}. Dalam hal ini, \hat{\bf y} harus dipilih sedemikian sehingga \|{\bf y} - \hat{\bf y}\| minimum.

Secara geometri, vektor \hat{\bf y} yang dicari adalah vektor proyeksi dari {\bf y} pada bidang yang direntang oleh {\bf x} dan {\bf e}. Vektor \hat{\bf y} (dan kelipatannya) merupakan vektor pada bidang yang direntang oleh {\bf x} dan {\bf e} yang membentuk sudut terkecil dengan vektor {\bf y}. Sudut terkecil tersebut tak lain merupakan sudut antara garis yang direntang oleh {\bf y} dan bidang yang direntang oleh {\bf x} dan {\bf e}.

Selain dalam persoalan regresi linear, konsep sudut juga muncul dalam perhitungan koefisien korelasi, yang pada dasarnya menyatakan seberapa besar ketergantungan suatu vektor data {\bf y}:=(y_1,\dots,y_n) pada vektor data lainnya, sebutlah {\bf x}:=(x_1,\dots,x_n). Dalam hal ini, koefisien yang dicari merupakan nilai cosinus sudut antara vektor {\bf x}-\hat{\bf x} dan vektor {\bf y}-\hat{\bf y}, dengan \hat{\bf x} menyatakan nilai rata-rata dari x_i,\ i=1,\dots,n, dan \hat{\bf y} menyatakan nilai rata-rata dari y_i,\ i=1,\dots,n.

Sekarang misalkan kita mempunyai dua himpunan vektor \{{\bf u}_1,\dots,{\bf u}_p\} dan \{{\bf v}_1,\dots,{\bf v}_q\} di suatu ruang hasil kali dalam X yang berdimensi n, dengan 1\le p\le q\le n. Bagaimanakah caranya menentukan sudut antara subruang U yang direntang oleh \{{\bf u}_1,\dots,{\bf u}_p\} dan subruang V yang direntang oleh \{{\bf v}_1,\dots,{\bf v}_q\}?

Persoalan menentukan sudut tersebut dapat dipandang sebagai persoalan menentukan seberapa mirip subruang data U dan subruang data V, atau seberapa baik kita dapat menghampiri data yang berada di U dengan data yang berada di V. Menggunakan istilah statistika, besar sudut antara dua subruang merupakan ukuran ketergantungan himpunan peubah acak pertama pada himpunan peubah acak kedua.

Lalu bagaimana caranya kita menentukan besar (cosinus) sudut antara dua subruang tersebut? Nah, bila Anda tertarik, sila tengok paper “A formula for angles between two subspaces in inner product spaces” yang diterbitkan di Beitrage zur Algebra und Geometrie 46 (2005).

*

Bandung, 22-01-2019

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s