Menentukan Ukuran Tabung Paling Ekonomis

Hendra Gunawan

Masih ingat problem menentukan ukuran tabung paling ekonomis yang diunggah di blog ini dua tahun yang lalu?

Problem atau masalah ini merupakan Masalah Nilai Ekstrem dengan kendala: Diberikan luas permukaannya, tentukan volume maksimum. Masalah dualnya adalah: Diberikan volumenya, tentukan luas permukaan minimum.

Rumus volume tabung adalah V=\pi r^2t dengan r menyatakan jari-jari tabung dan t menyatakan tinggi tabung. Luas permukaannya adalah A=2\pi r^2 + 2\pi rt. Jadi, untuk mendapatkan ukuran tabung paling ekonomis, Anda dapat menyelesaikan masalah optimisasi berikut:

(A) Diketahui 2\pi r^2 +2\pi rt = A, tentukan nilai maksimum dari V=\pi r^2t.

Sebagai alternatif, Anda dapat menyelesaikan masalah optimisasi berikut:

(B) Diketahui \pi r^2t = V, tentukan nilai minimum dari A=2\pi r^2 + 2\pi rt.

Dengan menyelesaikan masalah optimisasi (A) atau (B), buktikan bahwa tabung paling ekonomis adalah tabung yang memiliki tinggi sama dengan diameternya.

*

Bandung, 19-02-2018

Unknown's avatar

Published by Hendra Gunawan

I'm a professor of mathematics at the Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Bandung Institute of Technology, Bandung, Indonesia.

5 Comments

  1. Pingback: Masih tentang Ukuran Tabung Paling Ekonomis – Bermatematika

  2. Saya coba selesaikan masalah optimisasi (B).
    Diberikan volume tabung sebagai V=\pi r^{2}t dan luas permukaannya A=2\pi r^{2}+2\pi rt.
    Berdasarkan ketaksamaan RA-RG kita punya
    A=2\pi r^{2}+\pi rt+\pi rt\geq 3\sqrt[3]{2\pi r^{2}\cdot\pi rt\cdot\pi rt}=3\sqrt[3]{2\pi(\pi^{2}r^{4}t^{2})}=3\sqrt[3]{2\pi V^{2}}

    Kesamaan terjadi jika dan hanya jika \pi rt=\pi rt=2\pi r^{2}, dengan r,t\neq 0. Kita peroleh t=2r. Jadi nilai minimum dari A dicapai ketika panjang tinggi dan diameternya sama, yaitu

    A=2\pi r^{2}+2\pi r(2r)=6\pi r^{2}

    Like

    Reply

    1. Akan lebih baik bila jawabannya dinyatakan dalam V, karena nilai V lah yang diberikan.

      Like

      Reply

  3. Sekarang saya akan selesaikan masalah optimisasi (A) dengan menggunakan metode pengali Lagrange. Fungsi yang akan dimaksimumkan adalah V(r,t)=\pi r^{2}t dengan kendala A(r,t)=2\pi r^{2}+2\pi rt. Kita punya fungsi bantuannya sebagai

    F(r,t)=\pi r^{2}t+\lambda (2\pi r^{2}+2\pi rt)

    Turunkan fungsi F terhadap r dan juga terhadap t untuk memperoleh

    \frac{dF}{dr}=2\pi rt+\lambda (4\pi rt+2\pi t)=0 \Leftrightarrow \lambda=\frac{-2rt}{4r+2t}

    \frac{dF}{dt}=\pi r^{2}+\lambda (2\pi r)=0\Leftrightarrow \lambda=-\frac{r}{2}

    Berdasarkan nilai-nilai \lambda yang diperoleh, maka didapat persamaan

    -\frac{r}{2}=\frac{-2rt}{4r+2t}

    t=2r

    Jadi tabung paling ekonomis dicapai ketika panjang tinggi sama dengan diameternya.

    Like

    Reply

Leave a comment