Deret Harmonik Berganti Tanda

Anda telah mengenal deret harmonik. Sekarang mari kita tinjau deret

yang mirip dengan deret harmonik, tetapi tandanya berganti antara positif dan negatif, berselang-seling. Deret ini dikenal sebagai deret harmonik berganti tanda.

Berbeda dengan deret harmonik, deret ini konvergen. Perhatikan bahwa

dan seterusnya. Kita peroleh barisan jumlah parsial yang berosilasi. Selanjutnya,

dan seterusnya. Dengan induksi, dapat dibuktikan bahwa

Lebih jauh, kedua sub-barisan ini konvergen ke suatu bilangan yang sama, karena s_2n+1 – s_2n = 1/(2n+1) menuju 0 ketika n menuju tak terhingga. Dengan deret pangkat untuk arctan x (yang akan dibahas suatu saat kelak), dapat dibuktikan bahwa deret harmonik berganti tanda konvergen ke π/4.

*

Bandung, 27-05-2016