Ruang Dual-n dari Ruang Barisan-p

Pada tahun 2012-2013 saya membimbing dua mahasiswa S2, Harmanus Batkunde (alias ‘Harry’) dan Yosafat E.P. Pangalela (alias ‘Oscar’). Mereka berdua mempelajari tentang fungsional dan fungsional-n pada ruang bernorma dan ruang bernorma-n.

Misal X adalah ruang vektor atas lapangan K, dengan K={\bf R} atau {\bf C}. Yang dimaksud dengan fungsional pada X adalah pemetaan f: X\to K sembarang. Bila domainnya adalah X^n=X\times \cdot\times X (sebanyak n kali), maka pemetaan f:X^n\to K disebut fungsional-n.

Sebagai contoh, norma \|\cdot\| merupakan fungsional pada X, dan norma-n \|\cdot,\dots,\cdot\| merupakan fungsional-n pada X.

Fungsional f pada ruang bernorma (X,\|\cdot\|) dikatakan terbatas apabila terdapat C>0 sedemikian sehingga

|f(x)| \le C\,\|x\|

untuk setiap x\in X. Konstanta C terkecil yang memenuhi ketaksamaan di atas dinobatkan sebagai ‘norma’ f, dan dilambangkan dengan \|f\|. Himpunan semua fungsional linear dan terbatas pada X membentuk ruang bernorma dengan norma ini, yang dikenal sebagai ruang dual dari X.

Serupa dengan itu, fungsional-n pada ruang bernorma (X,\|\cdot\|) dikatakan terbatas apabila terdapat C>0 sedemikian sehingga

|f(x_1,\dots,x_n)| \le C\,\|x_1\|\cdots\|x_n\|

untuk setiap x_1,\dots,x_n\in X. Bila X dilengkapi pula dengan norma-n \|\cdot,\dots,\cdot\|, maka fungsional-n pada ruang bernorma-n (X,\|\cdot,\dots,\cdot\|) dikatakan terbatas apabila terdapat C>0 sedemikian sehingga

|f(x_1,\dots,x_n)| \le C\,\|x_1,\dots,x_n\|

untuk setiap x_1,\dots,x_n\in X.

Nah, Harry, Oscar, dan saya mempelajari fungsional linear dan fungsional-n multilinear terbatas pada ruang barisan-p, dan sebagai outputnya kami mempublikasikan dua paper, yaitu “Bounded linear functionals on the n-normed space of p-summable sequences” yang terbit di Acta Universitatis Matthiae Belii, series Mathematics (2013), 66-75, dan “The n-dual space of the space of p-summable sequences” yang terbit di Mathematica Bohemica 138 (2013), 439-448.

Sila unduh dan pelajari kedua paper tersebut bila Anda penasaran.

*

Bandung, 18-06-2019

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s