Keterbatasan Operator Integral Fraksional di Ruang Morrey Diperumum

Hendra Gunawan

Pada akhir tahun 2018, saya telah memperkenalkan operator integral fraksional, yakni operator I_\alpha, yang memetakan fungsi f: {\bf R}^n \to {\bf R} ke fungsi I_\alpha f dengan

I_\alpha f(x) := \int_{{\bf R}^n} \frac{f(y)}{|x-y|^{n-\alpha}} dy,\quad x\in {\bf R}^n.

Di sini 0<\alpha<n. Anda pun dapat memeriksa bahwa I_\alpha f terdefinisi dengan baik jika f mempunyai tumpuan kompak dan terbatas di sana.

Lebih jauh, operator I_\alpha terbatas dari ruang Lebesgue L^p ke ruang Lebesgue L^q, yakni terdapat C>0 sedemikian sehingga

\|I_\alpha f\|_{L^q} \le C\,\|f\|_{L^p},\quad f\in L^p,

untuk 1<p<\infty dan \frac1q=\frac1p-\frac{\alpha}{n}. Bahkan, I_\alpha juga terbatas dari ruang Morrey L^{p,\lambda} ke ruang Morrey L^{q,\lambda} untuk 1< p<\infty, \frac1q=\frac1p-\frac{\alpha}{n-\lambda}, dan 0\le\lambda<n-\alpha p.

Nah, pada tahun 2012, Eridani, M.I. Utoyo, dan saya mempelajari keterbatasan integral fraksional di ruang Morrey diperumum. Bila anggota ruang Morrey klasik L^{p,\lambda} adalah fungsi f:{\bf R}^n \to {\bf R} dengan

\|f\|_{L^{p,\lambda}}:=\sup\limits_{B=B(a,r)} \Bigl(\frac{1}{r^\lambda}\int_B |f(y)|^p dy\Bigr)^{1/p}<\infty,

maka anggota ruang Morrey diperumum L^{p,\phi} adalah fungsi f:{\bf R}^n \to {\bf R} dengan

\|f\|_{L^{p,\phi}}:=\sup\limits_{B=B(a,r)} \frac{1}{\phi(r)} \Bigl(\frac{1}{|B|}\int_B |f(y)|^p dy\Bigr)^{1/p}<\infty.

Di sini \phi:(0,\infty) \to (0,\infty) merupakan fungsi yang (hampir) turun sedemikian sehingga fungsi r^n\phi(r) merupakan fungsi yang (hampir) naik.

Hasil yang kami peroleh adalah suatu syarat perlu dan cukup bagi keterbatasan operator I_\alpha dari ruang Morrey L^{p,\phi} ke ruang Morrey L^{q,\psi}. Bila Anda tertarik untuk mempelajarinya, sila baca paper “A characterization for fractional integral operators on generalized Morrey spaces“, yang dipublikasikan di Anal. Theory Appl. 28-3 (2012), 263-268.

*

Bandung, 30-04-2019

Published by Hendra Gunawan

I'm a professor of mathematics at the Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Bandung Institute of Technology, Bandung, Indonesia.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s