Fungsi Terintegralkan (Secara) Lokal

Dalam definisi operator maksimal Hardy-Littlewood dan definisi ruang Morrey, fungsi yang dibahas adalah fungsi f\in L^p_{\rm loc}({\bf R}^n), yaitu fungsi f:{\bf R}^n \to {\bf R} sedemikian sehingga |f|^p terintegralkan (secara) lokal, yakni

\int_B |f(y)|^p dy <\infty

untuk setiap bola B=B(0,R) di {\bf R}^n. O ya, di sini 1\le p<\infty.

Contoh fungsi di L^p_{\rm loc}({\bf R}^n) adalah f(x):=|x|^{-\frac{n}{q}} dengan 1\le p <q<\infty. Dengan menggunakan koordinat polar, kita dapat menghitung

\int_{B(0,R)} |y|^{-np/q}dy = \int_{S^{n-1}} \int_0^R r^{-np/q+n-1}dr d\sigma= \omega_{n-1} \frac{R^{n(1-p/q)}}{n(1-p/q)},

dengan S^{n-1} menyatakan permukaan bola satuan di {\bf R}^n dan \omega_{n-1} menyatakan luasnya. (Untuk n=2, S^1 adalah lingkaran satuan dan \omega_1=2\pi.)

*

Bandung, 04-05-2019

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s