Ketaksamaan Lemah untuk Operator Maksimal dan Integral Fraksional

Hendra Gunawan

Di blog ini saya telah memperkenalkan operator maksimal Hardy-Littlewood {\cal M} yang memetakan fungsi f:{\bf R}^n \to {\bf R} ke fungsi {\cal M}f dengan

{\cal M}f(x) := \sup\limits_{r>0} \frac{1}{|B(x,r)|} \int_{B(x,r)} |f(y)|\,dy,\quad x\in{\bf R}^n.

Salah satu sifat penting yang dimiliki oleh operator maksimal Hardy-Littlewood adalah sifat keterbatasannya di ruang Lebesgue L^p({\bf R}^n). Persisnya, jika f\in L^p({\bf R}^n), maka {\cal M}f \in L^p({\bf R}^n) dengan

\|{\cal M}f\|_p \le C_p\|f\|_p,

untuk 1<p\le \infty. Di sini, \|\cdot\|_p menyatakan norma di L^p({\bf R}^n).

Untuk p=1, kita hanya mempunyai ketaksamaan lemah

|\{x \in {\bf R}^n\,:\,{\cal M}f(x) > \gamma\}| \le \frac{C}{\gamma}\|f\|_1,

untuk setiap f\in L^1({\bf R}^n) dan \gamma>0. Andaikan kita mempunyai ketaksamaan

\|{\cal M}f\|_1 \le C\|f\|_1,

untuk setiap f\in L^1({\bf R}^n), maka berdasarkan ketaksamaan Chebyshev kita akan mempunyai ketaksamaan

\gamma |\{x\in {\bf R}^n\,:\,{\cal M}f(x)> \gamma\}| \le \int_{{\bf R}^n} Mf(x)\, dx = \|{\cal M}f\|_1 \le C \|f\|_1,

untuk setiap \gamma>0. Jadi, ketaksamaan terakhir ini lebih lemah daripada ketaksamaan sebelumnya. Karena itulah kita menamainya ketaksamaan lemah.

Selanjutnya, saya juga telah memperkenalkan operator integral fraksional I_\alpha, dengan 0<\alpha<n, yang memetakan fungsi f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R} ke fungsi I_\alpha f dengan

I_\alpha f(x) :=\int_{\mathbb{R}^n} \frac{f(y)}{|x-y|^{n-\alpha}}\,dy,\quad x\in {\bf R}^n.

Operator integral fraksional merupakan operator terbatas dari ruang Lebesgue L^p(\mathbb{R}^n) ke ruang Lebesgue L^q(\mathbb{R}^n) dengan \frac{1}{q}=\frac{1}{p}-\frac{\alpha}{n},\ 1<p<\infty, yakni terdapat C>0 sedemikian sehingga

\|I_\alpha f\|_q \le C\,\|f\|_p,

untuk setiap f\in L^p({\bf R}^n) dengan p dan q memenuhi hubungan di atas. (Ketaksamaan ini dikenal sebagai ketaksamaan Hardy-Littlewood-Sobolev,)

Untuk p=1 dan \frac{1}{q}=1-\frac{\alpha}{n}, kita hanya mempunyai ketaksamaan lemah

|\{x \in {\bf R}^n\,:\,|I_\alpha f(x)|>\gamma\}| \le C\Bigl(\frac{\|f\|_1}{\gamma}\Bigr)^q,

untuk setiap f\in L^1({\bf R}^n) dan \gamma>0.

Nah, sebagaimana Anda sudah ketahui, saya telah menulis beberapa paper tentang keterbatasan operator integral fraksional di ruang Morrey. Pada tahun 2012, saya bersama dengan I. Sihwaningrum dan S. Maryani menulis paper tentang ketaksamaan lemah untuk operator integral fraksional di ruang Morrey diperumum, yang dipublikasikan di Anal. Theory Appl. 28-1 (2012), 65-72. Sila unduh dan pelajari paper ini bila Anda tertarik.

*

Bandung, 23-04-2019

Unknown's avatar

Published by Hendra Gunawan

I'm a professor of mathematics at the Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Bandung Institute of Technology, Bandung, Indonesia.

Leave a comment