Ruang Lebesgue Lemah

Anda sudah mengenal ruang Lebesgue, tetapi mungkin belum pernah mendengar tentang ruang Lebesgue lemah.

Pada {\bf R}^n, ruang Lebesgue lemah wL^p({\bf R}^n), 1\le p<\infty, didefinisikan sebagai ruang fungsi terukur f:{\bf R}^n \to {\bf C} dengan

\|f\|_{wL^p} := \sup\limits_{\gamma>0} \gamma |\{x\in {\bf R}^n \,:\, |f(x)|>\gamma\}|^{1/p}<\infty.

Di sini, |A| menyatakan ukuran Lebesgue dari himpunan A. Perhatikan jika f\in L^p({\bf R}^n), maka

\gamma^p |\{x\in {\bf R}^n \,:\, |f(x)|>\gamma\}| \le \int_{\{x\in {\bf R}^n \,:\, |f(x)|>\gamma\}} \gamma^p dx \le \int_{{\bf R}^n} |f(x)|^p dx = \|f\|_{L^p}^p,

yakni f\in wL^p({\bf R}^n dengan \|f\|_{wL^p} \le \|f\|_{L^p}. (O ya, ketaksamaan di atas dikenal sebagai ketaksamaan Chebyshev.)

Jadi, sebagai himpunan, ruang Lebesgue lemah memuat ruang Lebesgue. Nah, ada problem kecil untuk Anda: carilah fungsi di ruang Lebesgue lemah yang bukan merupakan anggota ruang Lebesgue. Bila Anda menemukannya, maka Anda telah membuktikan bahwa ruang Lebesgue merupakan himpunan bagian sejati dari ruang Lebesgue lemah.

*

Bandung, 20-04-2019

Advertisements

2 Comments

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s