Fungsi Karakteristik di Ruang Morrey

Selain fungsi pangkat, fungsi lainnya yang juga penting dipelajari di ruang Morrey adalah fungsi karakteristik pada bola. Misal B(a_0,r_0) adalah bola yang berpusat di a_0\in {\bf R}^n dan berjari-jari r_0>0. Maka, fungsi karakteristik \chi_{B(a_0,r_0)} merupakan anggota ruang Morrey M^p_q({\bf R}^n) (1\le p\le q<\infty), dengan norma

\|\chi_{B(a_0,r_0)}\|_{M^p_q} = \bigl(\frac{C_n}{n}\bigr)^{1/q}r_0^{n/q}.

Ingat bahwa norma fungsi f di ruang Morrey M^p_q({\bf R}^n) didefinisikan sebagai

\|f\|_{M^p_q} := \sup\limits_{B=B(a,r)} |B|^{1/q-1/p} \Bigl( \int_B |f(x)|^p dx\Bigr)^{1/p}.

Nah, untuk f=\chi_{B(a_0,r_0)}, nilai supremum tersebut akan tercapai apabila a=a_0 dan r=r_0. Dalam hal ini,

\|\chi_{B(a_0,r_0)}\|_{M^p_q} = |B(a_0,r_0)|^{1/q} = \bigl(\frac{C_n}{n}\bigr)^{1/q}r_0^{n/q},

dengan C_n menyatakan luas permukaan bola satuan di {\bf R}^n.

*

Bandung, 13-04-2019

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s