Saya membahas garis singgung pada kurva (dalam artikel sebelumnya) karena saya ingin membahas ‘rank’ titik pada kurva tepi berbagai bangun datar. Sebagai contoh, di setiap titik pada lingkaran terdapat garis singgung (yang tegak lurus terhadap jari-jari lingkaran tersebut). Dalam hal ini, saya katakan bahwa setiap titik pada lingkaran memiliki rank 1. Lingkaran merupakan kurva tertutup yang mulus alias ‘baik-baik saja’. Demikian juga setiap titik pada segilingkar memiliki rank 1. Seperti halnya lingkaran, segilingkar juga merupakan kurva tertutup yang mulus.
Sementara itu, pada tepi bangun persegi, misalnya, terdapat empat titik yang ‘bermasalah’. Keempat titik itu tak lain adalah empat titik sudut persegi tersebut, yang membagi kurva tepi bangun persegi menjadi empat bagian alias empat sisi. Di tiap titik sudut persegi, ‘garis singgung kiri’ (analog dengan ‘turunan kiri’) tidak berimpit dengan ‘garis singgung kanan’ (analog dengan ‘turunan kanan’). Sebagai akibatnya, di titik sudut persegi tidak terdapat garis singgung. Saya katakan bahwa setiap titik sudut pada persegi memiliki rank 0. Selain titik sudut, titik-titik lainnya pada persegi ‘baik-baik saja’ alias mempunyai rank 1.
Jadi, secara umum, saya katakan bahwa sebuah titik pada kurva tepi bangun datar memiliki rank 1 apabila terdapat garis singgung di titik tersebut; atau memiliki rank 0 apabila tidak terdapat garis singgung di titik tersebut.
Bila Anda bertanya apakah setiap titik yang memiliki rank 0 selalu merupakan titik sudut, jawabannya belum tentu. Titik dengan rank 0 merupakan titik sudut apabila ‘garis singgung kiri’ dan ‘garis singgung kanan’ ada tetapi tidak berimpit — analog dengan ‘turunan kiri’ dan ‘turunan kanan’ ada tetapi tidak sama. (Besar sudut di titik semacam itu dapat ditentukan dari sudut yang dibentuk oleh garis singgung kiri dan garis singgung kanan di titik tersebut.)
Namun, sebuah titik mungkin memiliki rank 0 karena ‘garis singgung kiri’ atau ‘garis singgung kanan’ tidak ada. Sebagai contoh, perhatikan bangun datar di bawah ini (gambarnya belum selesai tetapi dapat dilanjutkan bila dikehendaki).
Bangun ini memiliki tak terhingga titik sudut (dan tak terhingga sisi), tetapi ada satu titik yang masih bermasalah, yaitu titik ujung kiri bawah: titik ini memiliki rank 0 tetapi bukan titik sudut (karena jika kita menelusuri kurva tepi bangun ini dengan orientasi berlawanan dengan arah jarum jam, maka ‘garis singgung kiri’ di titik tersebut tidak ada; kedua garis berwarna merah pada gambar di bawah ini bukan merupakan garis singgung kiri di titik ujung kiri bawah).
O ya, bila Anda ingin mengetahui cerita lengkapnya tentang klasifikasi bangun datar melalui karakterisasi titik pada kurva tepinya, sila tonton video kuliah “Lingkaran dan Segi Tak Terhingga“.
*
Bandung, 06-03-2018
Bermatematika 