Sebagaimana saya janjikan, saya akan membahas definisi umum garis singgung pada kurva di suatu titik, yang mencakup garis vertikal. Sebelum itu, mari kita tinjau kembali definisi garis singgung pada kurva di suatu titik sebagai garis lurus terbaik yang menghampiri kurva di titik tersebut dan di sekitarnya. Jika y = f(x) adalah suatu fungsi yang mempunyai turunan di x = c, maka garis y = f(c) + m(x − c), dengan m = f’(c), merupakan garis singgung pada kurva y = f(x) di x = c.
Perhatikan jika m ≠ f’(c), maka
![\lim\limits_{h\to 0} \frac{f(c+h)-f(c)-mh}{h} = \lim\limits_{h\to 0} \frac{f(c+h)-f(c)-f'(c)h}{h} + \lim\limits_{h\to 0} \frac{[f'(c)-m]h}{h} = f'(c)-m \not = 0.](https://s0.wp.com/latex.php?latex=%5Clim%5Climits_%7Bh%5Cto+0%7D+%5Cfrac%7Bf%28c%2Bh%29-f%28c%29-mh%7D%7Bh%7D+%3D+%5Clim%5Climits_%7Bh%5Cto+0%7D+%5Cfrac%7Bf%28c%2Bh%29-f%28c%29-f%27%28c%29h%7D%7Bh%7D+%2B+%5Clim%5Climits_%7Bh%5Cto+0%7D+%5Cfrac%7B%5Bf%27%28c%29-m%5Dh%7D%7Bh%7D+%3D+f%27%28c%29-m+%5Cnot+%3D+0.&bg=%23ffffff&fg=%23000000&s=0 "\lim\limits_{h\to 0} \frac{f(c+h)-f(c)-mh}{h} = \lim\limits_{h\to 0} \frac{f(c+h)-f(c)-f'(c)h}{h} + \lim\limits_{h\to 0} \frac{[f'(c)-m]h}{h} = f'(c)-m \not = 0.")
Jadi 
Nah, dengan gagasan yang sama, kita dapat mendefinisikan garis singgung pada kurva di suatu titik sebagai garis lurus terbaik yang menghampiri kurva di titik tersebut dan di sekitarnya dalam pengertian sebagaimana dilukiskan melalui gambar di bawah ini:
Di sini, kita membandingkan jarak titik Q ke garis lurus yang kita daku sebagai garis singgung, sebutlah titik Q* sebagai titik proyeksi Q pada garis tersebut, dan jarak titik P (yang sedang diamati) ke titik Q*. Bila jarak Q ke Q* menuju 0 lebih cepat daripada jarak P ke Q* menuju 0, maka garis lurus tersebut haruslah merupakan garis singgung pada kurva di titip P.
Problem: Buktikan jika y = f(x) mempunyai turunan di x = c, maka garis lurus dengan gradien m = f’(c) yang melalui titik (c, f(c)) memenuhi kondisi di atas.
Nah, dengan definisi di atas, kita dapat membuktikan, misalnya, bahwa garis vertikal x = 0 merupakan garis singgung pada kurva 
Sila periksa kebenarannya, jika Anda penasaran.
*
Bandung, 02-03-2018
Salam, selamat malam Prof.
Perkenalkan Prof, nama saya Reynold.
Maaf Prof, saya mau bertanya tentang bagaimana persamaan
lim h->0 dari [f(c+h)-f(c) -mh]/h = 0 bisa diperoleh jika dilihat dari gambar.
Saya masih hanya bisa menganalisis kebenaran nilai dari persamaan itu dimana [f(c+h)-f(c)]/h = m (gradien garis) sehingga
lim h->0 dari [f(c+h)-f(c) -mh]/h
= lim h->0 dari m-m
= lim h->0 dari 0
= 0
Terima kasih, Prof.
LikeLike
Sdr. Reynold, hitung-hitungannya seperti yang Anda tuliskan. Kalau dari gambar tentu saja sulit. Namun secara visual, garis dan kurva tampak seperti berimpit di sekitar titik singgungnya.
Salam, HG
LikeLike