Garis Singgung pada Kurva – II

Sebagaimana saya janjikan, saya akan membahas definisi umum garis singgung pada kurva di suatu titik, yang mencakup garis vertikal. Sebelum itu, mari kita tinjau kembali definisi garis singgung pada kurva di suatu titik sebagai garis lurus terbaik yang menghampiri kurva di titik tersebut dan di sekitarnya. Jika y = f(x) adalah suatu fungsi yang mempunyai turunan di x = c, maka garis y = f(c) + m(x − c), dengan m = f’(c), merupakan garis singgung pada kurva y = f(x) di x = c.

Perhatikan jika mf’(c), maka

\lim\limits_{h\to 0} \frac{f(c+h)-f(c)-mh}{h} = \lim\limits_{h\to 0} \frac{f(c+h)-f(c)-f'(c)h}{h} + \lim\limits_{h\to 0} \frac{[f'(c)-m]h}{h} = f'(c)-m \not = 0.

Jadi \lim\limits_{h\to 0} \frac{f(c+h)-f(c)-mh}{h}=0 terjadi jika dan hanya jika m = f’(c). Ini mengukuhkan bahwa garis singgung merupakan garis lurus terbaik yang menghampiri kurva y = f(x) di x = c dan di sekitarnya, dengan galat f(c+h)-f(c)-mh menuju 0 lebih cepat daripada h \to 0.

Nah, dengan gagasan yang sama, kita dapat mendefinisikan garis singgung pada kurva di suatu titik sebagai garis lurus terbaik yang menghampiri kurva di titik tersebut dan di sekitarnya dalam pengertian sebagaimana dilukiskan melalui gambar di bawah ini:

Di sini, kita membandingkan jarak titik Q ke garis lurus yang kita daku sebagai garis singgung, sebutlah titik Q* sebagai titik proyeksi Q pada garis tersebut, dan jarak titik P (yang sedang diamati) ke titik Q*. Bila jarak Q ke Q* menuju 0 lebih cepat daripada jarak P ke Q* menuju 0, maka garis lurus tersebut haruslah merupakan garis singgung pada kurva di titip P.

Problem: Buktikan jika y = f(x) mempunyai turunan di x = c, maka garis lurus dengan gradien m = f’(c) yang melalui titik (c, f(c)) memenuhi kondisi di atas.

Nah, dengan definisi di atas, kita dapat membuktikan, misalnya, bahwa garis vertikal x = 0 merupakan garis singgung pada kurva y=\root 3 \of {x} di x = 0.

Sila periksa kebenarannya, jika Anda penasaran.

*

Bandung, 02-03-2018

 

Advertisements

3 Comments

  1. Salam, selamat malam Prof.
    Perkenalkan Prof, nama saya Reynold.
    Maaf Prof, saya mau bertanya tentang bagaimana persamaan
    lim h->0 dari [f(c+h)-f(c) -mh]/h = 0 bisa diperoleh jika dilihat dari gambar.

    Saya masih hanya bisa menganalisis kebenaran nilai dari persamaan itu dimana [f(c+h)-f(c)]/h = m (gradien garis) sehingga
    lim h->0 dari [f(c+h)-f(c) -mh]/h
    = lim h->0 dari m-m
    = lim h->0 dari 0
    = 0

    Terima kasih, Prof.

    Like

    1. Sdr. Reynold, hitung-hitungannya seperti yang Anda tuliskan. Kalau dari gambar tentu saja sulit. Namun secara visual, garis dan kurva tampak seperti berimpit di sekitar titik singgungnya.

      Salam, HG

      Like

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s