Garis Singgung pada Kurva

Dalam banyak artikel (termasuk di Wikipedia), garis singgung pada sebuah kurva di suatu titik didefinisikan sebagai garis lurus yang ‘menyinggung’ kurva hanya di titik tersebut. Ini yang memang terjadi dengan garis singgung pada lingkaran, misalnya.

Definisi di atas tentu saja kurang berlaku umum. Selain itu, apa pula yang dimaksud dengan ‘menyinggung’? Jelas bahwa ‘menyinggung’ tidak sama dengan ‘memotong’ atau ‘melalui’. Sebagai contoh, garis = −x hanya memotong kurva y = sin x di titik (0,0) tetapi garis y = −x bukan garis singgung pada kurva y = sin x di titik (0,0).

Dalam kalkulus, garis singgung sering didefinisikan setelah pembahasan konsep turunan fungsi di suatu titik. Jika y = f(x) mempunyai turunan di = c, yakni jika

\lim\limits_{x\to c} \frac{f(x)-f(c)}{x-c} = \lim\limits_{h\to 0} \frac{f(c+h)-f(c)}{h}\ {\rm ada},

maka kurva y = f(x) mempunyai garis singgung di (c, f(c)) dan nilai limit tersebut, yakni ’(c), merupakan gradien garis singgung tersebut. Dalam hal ini, persamaan garis singgungnya adalah

y=f(c)+f'(c)(x-c).

Nah, dengan definisi ini, fungsi y = f(x) dengan f(x)=x^2\sin\frac{1}{x} untuk x\not=0 dan f(0) = 0 mempunyai turunan 0 di = 0, yakni ’(0) = 0, dan persamaan garis singgung pada kurva y = f(x) di titik (0,0) adalah y = 0. Di sini, garis y = 0 memotong kurva y = f(x) tidak hanya di titik (0,0) tetapi juga di tak terhingga banyak titik di sekitar (0,0). Definisi garis singgung sebagai garis yang berpotongan dengan kurva hanya di titik yang diamati tidak berlaku untuk contoh ini.

Jadi, apa dong definisi garis singgung yang berlaku umum? Bila Anda membaca literatur yang lebih advanced, Anda akan menemukan bahwa garis singgung pada sebuah kurva di suatu titik adalah garis lurus ‘terbaik’ yang ‘menghampiri’ kurva di titik tersebut dan di sekitarnya.

Perhatikan jika y = f(x) mempunyai turunan di x = c, dan kita menaksir nilai fungsi di x = + h dengan menggunakan persamaan garis singgungnya, maka galatnya adalah

\epsilon(h)=f(c+h)-f(c)-f'(c)h.

Jika kita bagi kedua ruas dengan h, kita peroleh

\frac{\epsilon(h)}{h} = \frac{f(c+h)-f(c)}{h}-f'(c) \to 0\ {\rm bila}\ h\to 0.

Ini berarti bahwa \epsilon(h) \to 0 ‘lebih cepat’ daripada h\to 0. Garis lurus lain mungkin melalui (c, f(c)), tetapi hanya garis singgung yang galatnya menuju 0 lebih cepat daripada h\to 0.

Dengan fakta ini, kita sesungguhnya dapat mendefinisikan garis singgung pada sebuah kurva di suatu titik sebagai garis lurus terbaik yang menghampiri kurva di titik tersebut dan di sekitarnya. Tetapi, definisi ini masih menyisakan satu kasus, yaitu ketika garis singgungnya merupakan garis vertikal, seperti yang mungkin terjadi pada lingkaran atau pada kurva di bawah ini.

Adakah definisi garis singgung yang lebih umum daripada definisi yang menggunakan konsep turunan? Tunggu artikel selanjutnya.

*

Bandung, 27-02-2018

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

w

Connecting to %s