Buktikan ketaksamaan ini: jika x, y > 0, maka
xy + yx > 1.
(Terus terang, saya sudah mencobanya tetapi belum berhasil, hiks!)
Kalau ada yang bisa membuktikannya, submit buktinya di blog ini yaaa… Kalau buktinya benar, saya beri hadiah t-shirt bermatematika deh! O ya, hadiah hanya diberikan kepada orang pertama yang berhasil membuktikan ketaksamaan di atas dengan benar dan menayangkan buktinya di blog ini.
*
Bandung, 26-09-2017
Bermatematika 
Diketahu x,y>0. Berdasarkan ketaksamaan Bernoulli, kita punya:
(1/x)^y = [1+(1/x-1)]^y= x/(x-xy+y) > x/(x+y)
Sekarang perhatikan juga
(1/y)^x = [1+(1/y-1)]^x = y/(x-xy+y) > y/(x+y)
Karenanya kita punya
x^y+y^x> x/(x+y)+y/(x+y)=(x+y)/(x+y)=1
x^y+y^x > 1
LikeLike
Arini, ada dua ketaksamaan Bernoulli, dengan tanda ketaksamaan yang berbeda. Yang mana yang Anda pakai?
Selain itu, kalau (1/x)^y > x/(x+y), maka x^y < (x+y)/x. Apakah Anda tidak salah ketik. Sila perbaiki..
Salam, HG
LikeLike
Hmm, kenapa ada part yang hilang ketika disubmit ya:
Diketahu x,y>0. Berdasarkan ketaksamaan Bernoulli, kita punya:
(1/x)^y = [1+(1/x-1)]^y= x/(x-xy+y) > x/(x+y)
Sekarang perhatikan juga
(1/y)^x = [1+(1/y-1)]^x = y/(x-xy+y) > y/(x+y)
Karenanya kita punya
x^y+y^x> x/(x+y)+y/(x+y)=(x+y)/(x+y)=1
x^y+y^x > 1
LikeLike
Diketahui x, y>0, maka berdasarkan ketaksamaan Bernoulli
1/x^y = [1+(1/x-1)]^y =x/(x-xy+y)/x > x/(x+y)
Dengan cara yg sama diperoleh y^x >= y/(x-xy+y)>y/(x+y).
Jadi x^y+y^x > x/(x+y)+y/(x+y) =1
LikeLike
Akan dibagi dua kasus.
Kasus pertama, x >= 1 atau y >= 1. Jika x>=1 maka jelas bahwa akan berlaku (x^y)+(y^x) >= 1+(y^x) > 1. Dengan cara yang analog jika y >= 1
(x^y)+(y^x) >= (x^y)+1 > 1.
Kasus kedua, 0 < x,y < 1.
Jelas bahwa untuk 0 < x 0. Sehingga dengan menggunakan ketaksamaan Bernoulli II akan diperoleh (1/x)^y = (1+((1/x)-1))^y <= 1+y((1/x)-1) = 1+(y/x)-y x/(x+y).
Dengan cara yang sama akan diperoleh
y^x > y/(x+y).
Akibatnya
(x^y)+(y^x) > (x/(x+y))+(y/(x+y))=1.
Bukti selesai.
LikeLike
Akan dibagi dua kasus.
Kasus pertama, x >= 1 atau y >= 1. Jika x>=1 maka jelas bahwa akan berlaku (x^y)+(y^x) >= 1+(y^x) > 1. Dengan cara yang analog jika y >= 1
(x^y)+(y^x) >= (x^y)+1 > 1.
Kasus kedua, 0 < x,y < 1.
Jelas bahwa untuk 0 < x 0. Sehingga dengan menggunakan ketaksamaan Bernoulli II akan diperoleh (1/x)^y = (1+((1/x)-1))^y <= 1+y((1/x)-1) = 1+(y/x)-y x/(x+y).
Dengan cara yang sama akan diperoleh
y^x > y/(x+y).
Akibatnya
(x^y)+(y^x) > (x/(x+y))+(y/(x+y))=1.
Bukti selesai.
LikeLike
Akan dibagi dua kasus.
Kasus pertama, x >= 1 atau y >= 1. Jika x>=1 maka jelas bahwa akan berlaku (x^y)+(y^x) >= 1+(y^x) > 1. Dengan cara yang analog jika y >= 1
(x^y)+(y^x) >= (x^y)+1 > 1.
Kasus kedua, 0 < x,y < 1.
Jelas bahwa untuk 0 < x 0. Sehingga dengan menggunakan ketaksamaan Bernoulli II akan diperoleh (1/x)^y = (1+((1/x)-1))^y <= 1+y((1/x)-1) = 1+(y/x)-y < x/(x+y) yang berakibat
x^y y/(x+y).
Akibatnya
(x^y)+(y^x) > (x/(x+y))+(y/(x+y))=1.
Bukti selesai.
LikeLike
Asriadi, maaf saya terlambat membaca jawaban Anda.. Idenya sama dengan ide Arini S. Putri, tetapi jawaban Anda lebih lengkap. Sayangnya masih ada beberapa kesalahan ketik ya.. (Memang tidak mudah menulis lambang-lambang matematika di kolom komentar.) Bukti lengkapnya telah saya posting pada hari Jumat, 29-10-2017.
LikeLike