Ketaksamaan Pangkat + Eksponen

Buktikan ketaksamaan ini: jika x, y > 0, maka

xy + yx > 1.

(Terus terang, saya sudah mencobanya tetapi belum berhasil, hiks!)

Kalau ada yang bisa membuktikannya, submit buktinya di blog ini yaaa… Kalau buktinya benar, saya beri hadiah t-shirt bermatematika deh! O ya, hadiah hanya diberikan kepada orang pertama yang berhasil membuktikan ketaksamaan di atas dengan benar dan menayangkan buktinya di blog ini.

*

Bandung, 26-09-2017

Advertisements

9 comments

  1. Diketahu x,y>0. Berdasarkan ketaksamaan Bernoulli, kita punya:
    (1/x)^y = [1+(1/x-1)]^y= x/(x-xy+y) > x/(x+y)
    Sekarang perhatikan juga
    (1/y)^x = [1+(1/y-1)]^x = y/(x-xy+y) > y/(x+y)
    Karenanya kita punya
    x^y+y^x> x/(x+y)+y/(x+y)=(x+y)/(x+y)=1
    x^y+y^x > 1

    Like

    1. Arini, ada dua ketaksamaan Bernoulli, dengan tanda ketaksamaan yang berbeda. Yang mana yang Anda pakai?
      Selain itu, kalau (1/x)^y > x/(x+y), maka x^y < (x+y)/x. Apakah Anda tidak salah ketik. Sila perbaiki..
      Salam, HG

      Like

  2. Hmm, kenapa ada part yang hilang ketika disubmit ya:
    Diketahu x,y>0. Berdasarkan ketaksamaan Bernoulli, kita punya:
    (1/x)^y = [1+(1/x-1)]^y= x/(x-xy+y) > x/(x+y)
    Sekarang perhatikan juga
    (1/y)^x = [1+(1/y-1)]^x = y/(x-xy+y) > y/(x+y)
    Karenanya kita punya
    x^y+y^x> x/(x+y)+y/(x+y)=(x+y)/(x+y)=1
    x^y+y^x > 1

    Like

  3. Diketahui x, y>0, maka berdasarkan ketaksamaan Bernoulli
    1/x^y = [1+(1/x-1)]^y =x/(x-xy+y)/x > x/(x+y)
    Dengan cara yg sama diperoleh y^x >= y/(x-xy+y)>y/(x+y).
    Jadi x^y+y^x > x/(x+y)+y/(x+y) =1

    Like

  4. Akan dibagi dua kasus.
    Kasus pertama, x >= 1 atau y >= 1. Jika x>=1 maka jelas bahwa akan berlaku (x^y)+(y^x) >= 1+(y^x) > 1. Dengan cara yang analog jika y >= 1
    (x^y)+(y^x) >= (x^y)+1 > 1.
    Kasus kedua, 0 < x,y < 1.
    Jelas bahwa untuk 0 < x 0. Sehingga dengan menggunakan ketaksamaan Bernoulli II akan diperoleh (1/x)^y = (1+((1/x)-1))^y <= 1+y((1/x)-1) = 1+(y/x)-y x/(x+y).
    Dengan cara yang sama akan diperoleh
    y^x > y/(x+y).
    Akibatnya
    (x^y)+(y^x) > (x/(x+y))+(y/(x+y))=1.
    Bukti selesai.

    Like

    1. Akan dibagi dua kasus.
      Kasus pertama, x >= 1 atau y >= 1. Jika x>=1 maka jelas bahwa akan berlaku (x^y)+(y^x) >= 1+(y^x) > 1. Dengan cara yang analog jika y >= 1
      (x^y)+(y^x) >= (x^y)+1 > 1.
      Kasus kedua, 0 < x,y < 1.
      Jelas bahwa untuk 0 < x 0. Sehingga dengan menggunakan ketaksamaan Bernoulli II akan diperoleh (1/x)^y = (1+((1/x)-1))^y <= 1+y((1/x)-1) = 1+(y/x)-y x/(x+y).
      Dengan cara yang sama akan diperoleh
      y^x > y/(x+y).
      Akibatnya
      (x^y)+(y^x) > (x/(x+y))+(y/(x+y))=1.
      Bukti selesai.

      Like

    2. Akan dibagi dua kasus.
      Kasus pertama, x >= 1 atau y >= 1. Jika x>=1 maka jelas bahwa akan berlaku (x^y)+(y^x) >= 1+(y^x) > 1. Dengan cara yang analog jika y >= 1
      (x^y)+(y^x) >= (x^y)+1 > 1.
      Kasus kedua, 0 < x,y < 1.
      Jelas bahwa untuk 0 < x 0. Sehingga dengan menggunakan ketaksamaan Bernoulli II akan diperoleh (1/x)^y = (1+((1/x)-1))^y <= 1+y((1/x)-1) = 1+(y/x)-y < x/(x+y) yang berakibat
      x^y y/(x+y).
      Akibatnya
      (x^y)+(y^x) > (x/(x+y))+(y/(x+y))=1.
      Bukti selesai.

      Like

      1. Asriadi, maaf saya terlambat membaca jawaban Anda.. Idenya sama dengan ide Arini S. Putri, tetapi jawaban Anda lebih lengkap. Sayangnya masih ada beberapa kesalahan ketik ya.. (Memang tidak mudah menulis lambang-lambang matematika di kolom komentar.) Bukti lengkapnya telah saya posting pada hari Jumat, 29-10-2017.

        Like

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s