Titik Belok dan Titik Riak

Ketika memeriksa berkas ujian Kalkulus semester ini, saya menemukan kesalahan yang acap kali dilakukan oleh sejumlah mahasiswa dari tahun ke tahun. Salah satu kesalahan tersebut terkait dengan konsep titik belok (Ing. “inflection point”). Beberapa mahasiswa menulis bahwa titik belok dari y = f(x) adalah titik c dengan f ’’(c) = 0. Padahal, dalam kuliah, telah didefinisikan bahwa titik belok dari y = f(x) adalah titik c sedemikian sehingga f kontinu di c dan kecekungan kurva di sebelah kiri c berbeda dengan kecekungan kurva di sebelah kanan c.

Sebagai contoh, c = 0 merupakan titik belok dari y = f(x) = x³, karena f kontinu di 0, f cekung ke bawah di sebelah kiri 0 (f ’’(x) = 6x < 0 untuk x < 0), dan f cekung ke atas di sebelah kanan 0 (f ’’(x) = 6x > 0 untuk x > 0). Memang, untuk contoh ini, kita mempunyai f ’’(0) = 0, tetapi ini bukan merupakan syarat cukup untuk menjadikan c = 0 titik belok.

Untuk melihat bahwa secara umum f ’’(c) = 0 bukan syarat cukup untuk menjadikan c titik belok, tinjau contoh lainnya, yaitu y = f(x) = x⁴. Di sini, f’(x) = 4x³ dan f ’’(x) = 12x². Jadi f ’’(0) = 0, tetapi f ’’(x) > 0 baik untuk x > 0 maupun x < 0. Jadi kurva y = f(x) memiliki kecekungan yang sama di sebelah kiri dan kanan 0. Titik c = 0 dalam hal ini bukan merupakan titik belok.

Titik c dengan f ’’(c) = 0 tetapi f ’’(x) bertanda sama di sebelah kiri dan kanan c disebut titik riak (Ing. “undulation point”). Selain pada kurva y = f(x) = x⁴, titik c = 0 juga merupakan titik riak pada kurva y = f(x) = x⁴ + x, yang grafiknya diperlihatkan pada gambar di bawah ini.

Masih terkait dengan kurva y = f(x) = x⁴ dan y = f(x) = x⁴ + x, bila kita hitung turunan ketiganya, kita peroleh f ’’’(x) = 24x, sehingga f ’’’(0) = 0. Jadi tidak mengherankan bila kecekungan kurva y = f(x) tidak berbeda di sekitar 0.

Secara umum, jika f ’’(c) = 0 dan f ’’’(c) ≠ 0, maka c merupakan titik belok (sebagaimana terjadi pada y = f(x) = x³). Tetapi, sekalipun f mempunyai turunan kedua di c dan sekitarnya, tidak ada jaminan bahwa f mempunyai turunan ketiga di c. Dalam hal ini, kita harus kembali ke definisi, yaitu memeriksa kecekungan di sebelah kiri dan kanan c.

Bila f ’’(c) = 0 bukan merupakan syarat cukup, apakah ia merupakan syarat perlu? Jawabannya tidak juga. Sebagai contoh, y = f(x) = x|x| kontinu dan mempunyai turunan pertama di 0, yaitu f ’(0) = 0, tetapi tidak mempunyai turunan kedua di 0. Meskipun demikian, f ’’(x) < 0 untuk x < 0 dan f ’’(x) > 0 untuk x > 0, sehingga c = 0 merupakan titik belok karena kurva y = f(x) cekung ke bawah di sebelah kiri 0 dan cekung ke atas di sebelah kanan 0.

Problem: Diketahui y = f(x) = x²|x|. Selidiki apakah c = 0 merupakan titik belok atau titik riak.

*

Bandung, 07-11-2016