Membandingkan Dua Bilangan

Hendra Gunawan15/04/201626/04/2016Problem

Dengan menggunakan kalkulus, tanpa menghitung nilai masing-masing bilangan, buktikan bahwa:

Catatan: e menyatakan bilangan Euler, dengan nilai ln e = 1.

Bandung, 15-04-2016

Published by Hendra Gunawan

I'm a professor of mathematics at the Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Bandung Institute of Technology, Bandung, Indonesia. View all posts by Hendra Gunawan

9 Comments

agus says:

15/04/2016 at 15:31

Untuk no. 1. Kita definisikan f(x)=e^x/x^e. Turunan dari fungsi itu adalah f'(x)=e^x(x^-e)(1-e/x). f'(e)=0, sedangkan untuk x>e, f'(x)>0. Dengan kata lain f(x) adalah fungsi naik. Karenanya f(e)<f(\pi), dan no 1. pun terbukti.

LikeLike

Reply
1. hgunawan82 says:
  
  15/04/2016 at 17:09
  
  Well done! Ada cara lainkah? Bagaimana dgn nomor 2?
  
  LikeLike
  
  Reply
Dimitrij Ray says:

15/04/2016 at 16:32

(1) Untuk menunjukkan bahwa $e^\pi > \pi ^e$ , pandang $\ln(e^\pi)$ dan $\ln (\pi ^ e)$ . Akan ditunjukkan bahwa $\ln(e^\pi) = \pi > \ln (\pi ^ e)$ , atau ekuivalen dengan menunjukkan bahwa $\pi - e \ln \pi > 0$ .

Sekarang, pandang fungsi $f(x) = x - e\ln x$ . Dengan menurunkan $f(x)$ terhadap $x$ , kita dapatkan $f'(x) = 1 - e/x$ . Nilai $f'(x) > 0$ untuk $x > e$ . Akan tetapi $f(e) = 0$ . Ini menyebabkan $f(x) > 0$ untuk $x > e$ . Dengan demikian, karena $\pi > e$ , $f(\pi) = \pi - e \ln \pi > 0$ . Ini menyebabkan $\pi = \ln(e^\pi) = \ln(\pi^e)$ , dan karena $e > 1$ , $e^\pi > \pi ^e$.

(2) Caranya serupa dengan (1), hanya kini kita pandang $\log_2 2^\pi$ dan $\log_2 \pi ^2$ .

Saya menggunakan fakta bahwa $\pi > e$ , mungkin ada cara lain yang tidak perlu “mengekspolitasi” fakta ini? 😀

LikeLike

Reply
1. Dimitrij Ray says:
  
  15/04/2016 at 16:36
  
  Mohon maaf, terjadi salah tik. “Ini menyebabkan $\pi = \ln(e^\pi) = \ln(\pi ^e)$ ” seharusnya “Ini menyebabkan $\pi = \ln(e^\pi) > \ln(\pi ^e)$ “, dan “$e^\pi > \pi ^e$” seharusnya $e^\pi > \pi ^e$ 😦
  
  LikeLike
  
  Reply
  1. hgunawan82 says:
    
    15/04/2016 at 17:08
    
    Good job, Dimitrij! Siapa dulu dong, penulis Math Co gitu loh! 🙂
    
    LikeLike
Aria Turns says:

15/04/2016 at 17:55

Setuju ama Mas Dimitrij tapi sekarang saya kepikiran menggunakan fungsi $f\left(x\right)=x^{\pi}-\pi^{x}$
Tinggal kita tunjukkan
$f\left(e\right)>0$
$f\left(2\right)<0$
Tapi kok saya stuck yach 😀

LikeLike

Reply
1. hgunawan82 says:
  
  16/04/2016 at 05:37
  
  Nah, bila mungkin menggunakan SATU fungsi yang sama, lebih cakep buktinya! Salam, HG
  
  LikeLike
  
  Reply
hgunawan82 says:

15/04/2016 at 18:14

Kadang satu soal dapat diselesaikan dgn beberapa cara. Kalau ada yg bisa menyelesaikan problem di atas dgn cara yg berbeda, share aja di sini. Salam, HG

LikeLike

Reply
Pingback: Bukti bahwa e Irasional | Bermatematika

	Matematika on Kanal Youtube Hendra Guna…
	FE Pramana on Kejadian Saling Lepas dan Keja…
	farahaudifarefia on Ruang Bernorma-2
	Sandy on Ketakterhinggaan dan Tantangan…
	Mengenal Bilangan Er… on Projek Bilangan Erdos

	Matematika on Kanal Youtube Hendra Guna…
	FE Pramana on Kejadian Saling Lepas dan Keja…
	farahaudifarefia on Ruang Bernorma-2
	Sandy on Ketakterhinggaan dan Tantangan…
	Mengenal Bilangan Er… on Projek Bilangan Erdos

Share this:

Like this:

Published by Hendra Gunawan

9 Comments

Leave a Reply Cancel reply