Membandingkan Dua Bilangan

Dengan menggunakan kalkulus, tanpa menghitung nilai masing-masing bilangan, buktikan bahwa:

membandingkanduabilangan

Catatan: e menyatakan bilangan Euler, dengan nilai ln e = 1.

*

Bandung, 15-04-2016

 

Advertisements

9 comments

  1. Untuk no. 1. Kita definisikan f(x)=e^x/x^e. Turunan dari fungsi itu adalah f'(x)=e^x(x^-e)(1-e/x). f'(e)=0, sedangkan untuk x>e, f'(x)>0. Dengan kata lain f(x) adalah fungsi naik. Karenanya f(e)<f(\pi), dan no 1. pun terbukti.

    Like

  2. (1) Untuk menunjukkan bahwa e^\pi > \pi ^e, pandang \ln(e^\pi) dan \ln (\pi ^ e). Akan ditunjukkan bahwa \ln(e^\pi) = \pi > \ln (\pi ^ e), atau ekuivalen dengan menunjukkan bahwa \pi - e \ln \pi > 0.

    Sekarang, pandang fungsi f(x) = x - e\ln x. Dengan menurunkan f(x) terhadap x, kita dapatkan f'(x) = 1 - e/x. Nilai f'(x) > 0 untuk x > e. Akan tetapi f(e) = 0. Ini menyebabkan f(x) > 0 untuk x > e. Dengan demikian, karena \pi > e, f(\pi) = \pi - e \ln \pi > 0. Ini menyebabkan \pi = \ln(e^\pi) = \ln(\pi^e), dan karena e > 1, $e^\pi > \pi ^e$.

    (2) Caranya serupa dengan (1), hanya kini kita pandang \log_2 2^\pi dan \log_2 \pi ^2.

    Saya menggunakan fakta bahwa \pi > e, mungkin ada cara lain yang tidak perlu “mengekspolitasi” fakta ini? 😀

    Like

  3. Kadang satu soal dapat diselesaikan dgn beberapa cara. Kalau ada yg bisa menyelesaikan problem di atas dgn cara yg berbeda, share aja di sini. Salam, HG

    Like

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s