Fungsi Logaritma Natural

Aturan Pangkat menyatakan bahwa turunan dari fungsi pangkat y=x^r adalah y^\prime=rx^{r-1}. Dari sini kita peroleh bahwa turunan dari fungsi y=\frac{x^{s+1}}{s+1} adalah y^\prime=x^s. Rumus ini tentu saja tidak berlaku untuk s=-1. Pertanyaannya kemudian adalah: fungsi y=y(x) apakah yang mempunyai turunan y^\prime=x^{-1}?

Dengan Teorema Dasar Kalkulus, kita dapatkan bahwa

\frac{d}{dx} \int_1^x \frac{1}{t}\,dt = \frac{1}{x},

untuk x>0. Nah, fungsi f(x):=\int_1^x \frac{1}{t}\,dt yang terdefinisi untuk setiap x>0 dikenal sebagai fungsi logaritma natural. Dalam hal ini, kita mendefinisikan

\ln x := \int_1^x \frac{1}{t}\,dt,\quad x>0.

Berdasarkan definisinya, kita peroleh bahwa turunan dari y=\ln x adalah y^\prime=\frac{1}{x}.

Lebih jauh, fungsi logaritma natural memiliki beberapa sifat berikut:

  1. \ln 1 = 0.
  2. \ln ab = \ln a + \ln b.
  3. \ln \frac{a}{b} = \ln a - \ln b.
  4. \ln a^r = r\ln a.

Sifat 2 dapat dibuktikan sebagai berikut. Tinjau fungsi y=\ln ax. Dengan Aturan Rantai, kita peroleh y^\prime=\frac{1}{ax}\cdot a = \frac{1}{x}. Jadi, y=\ln ax dan y=\ln x mempunyai turunan yang sama, yaitu y^\prime=\frac{1}{x}. Akibatnya,

\ln ax - \ln x = C,

suatu konstanta. Bila kita substitusikan x=1, maka kita peroleh C=\ln a. Jadi

\ln ax = \ln a + \ln x.

Khususnya, untuk x=b, kita peroleh \ln ab = \ln a + \ln b, sebagaimana ingin dibuktikan.

Sifat 3 dan Sifat 4 dapat dibuktikan dengan cara serupa (sila coba). Pertanyaan selanjutnya adalah: bila y=\ln x memang merupakan fungsi logaritma, berapakah bilangan basisnya? Tunggu artikel lanjutannya Sabtu depan.

*

Bandung, 16-11-2019

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s