Beberapa Deret Bilangan dari Deret Fourier

Hendra Gunawan,

Dari deret Fourier untuk fungsi f(x):=|x|,\ -\pi\le x\le\pi, yang telah kita peroleh (minggu lalu), yakni

|x|=\frac{\pi}{2}-\frac{4}{\pi}\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}\cos (2n-1)x,\quad -\pi \le x \le \pi,

kita mempunyai deret bilangan

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{(2n-1)^2}=\frac{\pi^2}{8}.

(Substitusikan saja x=0 ke kesamaan di atas.)

Nah, bila kita nyatakan fungsi f(x):=x,\ -\pi< x<\pi, sebagai deret Fourier

x=2\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \sin nx,\quad -\pi<x<\pi,

lalu substitusikan x=\frac{\pi}{2}, kita akan peroleh

\frac{\pi}{4}=\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k-1}}{2k-1}=1-\frac13+\frac15-\frac17+\cdots.

(Catat bahwa \sin k\pi=0 untuk setiap k\in\mathbb{N}.)

Problem kecil untuk Anda: Gunakan deret Fourier untuk fungsi tertentu, untuk mendapatkan deret bilangan \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}.

*

Bandung, 21-09-2019

Published by Hendra Gunawan

I'm a professor of mathematics at the Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Bandung Institute of Technology, Bandung, Indonesia.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s