Publikasi 2009-2010: Operator Integral Fraksional dan Ketaksamaan Olsen

Hendra Gunawan

Dalam artikel yang saya unggah beberapa minggu yang lalu, saya telah memperkenalkan operator integral fraksional diperumum, yaitu operator I_\rho yang memetakan fungsi f ke fungsi I_\rho f dengan

I_\rho f(x) := \int_{{\bf R}^n} \frac{\rho(|x-y|)}{|x-y|^n}f(y)\,dy,

dengan \rho : (0,\infty) \to (0,\infty) memenuhi syarat penggandaan, yakni

terdapat C>1 sedemikian sehingga \frac{1}{C} \le \frac{\rho(r)}{\rho(s)} \le C untuk \frac{1}{2} \le \frac{r}{s} \le 2.

Catat jika \rho(t):=t^\alpha dengan 0<\alpha<n, maka I_\rho = I_\alpha adalah operator integral fraksional klasik:

I_\alpha f(x) := \int_{{\bf R}^n} \frac{f(y)}{|x-y|^{n-\alpha}} dy.

Apa yang saya dan kawan-kawan teliti terkait dengan operator integral fraksional diperumum adalah sifat keterbatasannya di ruang Morrey. Selain itu, ada ketaksamaan Olsen untuk operator integral fraksional klasik, yang berbunyi:

\|g\cdot I_\alpha f\|_{p,\lambda} \le C\,\|g\|_{(n-\lambda)/\alpha, \lambda} \|f\|_{p,\lambda},

untuk 1<p<\frac{n}{\alpha} dan 0\le \lambda <  n-\alpha p. Di sini, \|\cdot\|_{p,\lambda} menyatakan norma di ruang Morrey L^{p,\lambda}, yang beranggotakan semua fungsi f yang terintegralkan lokal dengan

\|f\|_{p,\lambda}:= \sup\limits_{B=B(a,r)} \Bigl( \frac{1}{r^\lambda} \int_B |f(y)|^p dy\Bigr)^{1/p}<\infty.

Nah, apakah syarat untuk fungsi \rho agar operator I_\rho terbatas dan ketaksamaan Olsen seperti di atas berlaku di ruang Morrey (yang diperumum)? Selama dua tahun, persisnya pada tahun 2009-2010, saya dan kawan-kawan menulis sebanyak tiga paper tentang hal ini, dan mempublikasikannya di Kyungpook J. Math. 49 (2019), Bull. Austral. Math. Soc. 80 (2019), dan Austral. J. Math. Anal. Appl. 7 (2010). Sila baca ketiga paper tersebut bila Anda tertarik.

*

Bandung, 05-03-2019

Published by Hendra Gunawan

I'm a professor of mathematics at the Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Bandung Institute of Technology, Bandung, Indonesia.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s