Luas Daun Descartes

Luas daun Descartes yang terletak di kuadran pertama dan berbentuk seperti di bawah ini

dapat dihitung sebagai integral lipat dua dalam koordinat polar. Sebagaimana telah diperkenalkan dalam artikel sebelumnya, kurva tepi daun Descartes memiliki persamaan x^3+y^3=3axy dengan a>0. Kurva di atas adalah kurva tepi daun Descartes dengan a=1.

Dalam koordinat polar, elemen luas suatu daerah adalah dA = r dr d\theta — sebagaimana dijelaskan dalam gambar di bawah ini.

Sekarang misalkan kurva tepi daun Descartes dalam koordinat polar adalah r = r(\theta). (Anda dapat mencari rumusnya di Wikipedia, tetapi kita tidak memerlukannya.)

Maka, luas daun Descartes adalah

A = \int_0^{\pi/2} \int_0^{r(\theta)} r dr d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} [r(\theta)]^2 d\theta.

Untuk menghitung integral terakhir, kita gunakan parametrisasi x=\frac{3at}{1+t^3} dan y=\frac{3at^2}{1+t^3}, dengan 0\le t<\infty. Nah, perhatikan bahwa

r^2=x^2+y^2=\frac{(3at)^2(1+t^2)}{(1+t^3)^2};

\theta=\arctan \frac{y}{x}=\arctan t;\ d\theta=\frac{dt}{1+t^2}.

Jadi

A = \frac{1}{2}\int_0^\infty \frac{(3at)^2(1+t^2)}{(1+t^3)^2} \frac{dt}{1+t^2} = \frac{3a^2}{2} \int_0^\infty \frac{3t^2}{(1+t^3)^2}\,dt = \frac{3a^2}{2}.

(Hasil terakhir diperoleh dengan substitusi peubah u=1+t^3.)

Khususnya, untuk a=1, luas daun Descartes yang bentuknya seperti pada gambar di atas adalah \frac{3}{2} satuan luas.

*

Bandung, 27-03-2018

Advertisements

1 Comment

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s