Luas Daun Descartes

Hendra Gunawan

Luas daun Descartes yang terletak di kuadran pertama dan berbentuk seperti di bawah ini

dapat dihitung sebagai integral lipat dua dalam koordinat polar. Sebagaimana telah diperkenalkan dalam artikel sebelumnya, kurva tepi daun Descartes memiliki persamaan x^3+y^3=3axy dengan a>0. Kurva di atas adalah kurva tepi daun Descartes dengan a=1.

Dalam koordinat polar, elemen luas suatu daerah adalah dA = r dr d\theta — sebagaimana dijelaskan dalam gambar di bawah ini.

Sekarang misalkan kurva tepi daun Descartes dalam koordinat polar adalah r = r(\theta). (Anda dapat mencari rumusnya di Wikipedia, tetapi kita tidak memerlukannya.)

Maka, luas daun Descartes adalah

A = \int_0^{\pi/2} \int_0^{r(\theta)} r dr d\theta = \frac{1}{2} \int_0^{\pi/2} [r(\theta)]^2 d\theta.

Untuk menghitung integral terakhir, kita gunakan parametrisasi x=\frac{3at}{1+t^3} dan y=\frac{3at^2}{1+t^3}, dengan 0\le t<\infty. Nah, perhatikan bahwa

r^2=x^2+y^2=\frac{(3at)^2(1+t^2)}{(1+t^3)^2};

\theta=\arctan \frac{y}{x}=\arctan t;\ d\theta=\frac{dt}{1+t^2}.

Jadi

A = \frac{1}{2}\int_0^\infty \frac{(3at)^2(1+t^2)}{(1+t^3)^2} \frac{dt}{1+t^2} = \frac{3a^2}{2} \int_0^\infty \frac{3t^2}{(1+t^3)^2}\,dt = \frac{3a^2}{2}.

(Hasil terakhir diperoleh dengan substitusi peubah u=1+t^3.)

Khususnya, untuk a=1, luas daun Descartes yang bentuknya seperti pada gambar di atas adalah \frac{3}{2} satuan luas.

*

Bandung, 27-03-2018

Published by Hendra Gunawan

I'm a professor of mathematics at the Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Bandung Institute of Technology, Bandung, Indonesia.

1 Comment

  1. Pingback: Koordinat Polar Daun Descartes – Bermatematika

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s