Rumus Rekursif Solusi Persamaan Pell

Mungkin ada yang penasaran dengan rumus rekursif untuk solusi persamaan Pell x² – 2y² = 1 yang dibahas dalam dua artikel sebelumnya, yaitu

untuk n = 1, 2, 3, … . Dari mana kita peroleh rumus ini?

Perhatikan bahwa persamaan x² – 2y² = 1 setara dengan (x + y√2)(x – y√2) = 1. Nah, setelah mendapatkan solusi positif pertama dari persamaan x² – 2y² = 1, yaitu x₁ = 3 dan y₁ = 2, kita dapat memperoleh solusi berikutnya, sebutlah x₂ dan y₂, dari persamaan

Bilangan x₂ dan y₂ yang memenuhi persamaan ini akan juga memenuhi persamaan

Akibatnya, kita mempunyai

yang menegaskan bahwa x₂ dan y₂ merupakan solusi persamaan x² – 2y² = 1.

Dengan menguraikan bentuk kuadrat di ruas kanan persamaan (*) dan menyamakan koefisien √2, kita peroleh

Solusi berikutnya, yaitu x₃ dan y₃, dapat diperoleh dari persamaan

Secara induktif, kita akan dapatkan rumus rekursif di atas untuk n = 2, 3, 4, … .

*

Bandung, 30-01-2018