Tripel bilangan (5, 4, 3) dan kelipatannya, seperti (10, 8, 6), (15, 12, 9), dan seterusnya, merupakan contoh Tripel Pythagoras. Dalam hal ini, tripel (5, 4, 3) merupakan Tripel Pythagoras Dasar. Contoh Tripel Pythagoras Dasar lainnya adalah (13, 12, 5). Perhatikan bahwa faktor persekutuan bersama dari suatu Tripel Pythagoras Dasar adalah 1.
Nah, bagaimana dengan Tripel Pecahan Satuan? Saya baru menyadari belakangan (setelah mengunggah artikel tentang Tripel Pecahan Satuan dan Tripel Arcus Tangen seminggu yang lalu) bahwa tripel (k, k + 1, k2 + k) merupakan Tripel Pecahan Satuan Dasar, tetapi banyak tripel lainnya yang juga merupakan Tripel Pecahan Satuan Dasar.
Untuk memperoleh bentuk umum Tripel Pecahan Satuan Dasar, pertama catat bahwa jika kita mempunyai suatu Tripel Pecahan Satuan, maka kelipatannya juga merupakan Tripel Pecahan Satuan. Selanjutnya, misalkan (k, m, n) adalah suatu Tripel Pecahan Satuan, yakni
Di sini m, n > k. Misalkan m = k + j. Maka
Dari sini kita melihat dua kasus. Kasus pertama, k merupakan kelipatan j, sebutlah k = ij, sehingga
Jadi kita peroleh (k, m, n) = (ji, j(i + 1), ji(i + 1)), yang hanya merupakan kelipatan dari tripel (i, i + 1, i(i + 1)).
Kasus kedua, yang lebih umum daripada kasus pertama, k2 merupakan kelipatan j, sebutlah k2 = lj. Dalam hal ini, kita peroleh (k, m, n) = (k, k + j, k + l), yang tidak harus merupakan kelipatan dari suatu tripel (i, i + 1, i(i + 1)). Sebagai contoh, untuk k = 6, j = 4, dan l = 9, kita peroleh tripel (6, 10, 15), dan tripel ini merupakan Tripel Pecahan Satuan Dasar.
Dengan bantuan faktorisasi prima, tripel (k, k + j, k + l) merupakan Tripel Pecahan Satuan Dasar jika dan hanya jika j dan l merupakan bilangan kuadrat, sebutlah j = a2 dan l = b2 dengan a dan b relatif prima. Jadi, kita peroleh bentuk umum Tripel Pecahan Satuan Dasar, yaitu (ab, a(a + b), b(a + b)), dengan a dan b relatif prima. Catat bahwa bentuk ini mencakup tripel (b, b + 1, b(b + 1)) yang telah kita identifikasi sebagai suatu Tripel Pecahan Satuan Dasar sejak awal. [Terima kasih kepada Fajar Yuliawan untuk argumen pamungkas ini.]
*
Bandung, 08-08-2016
Bermatematika 