Tripel Pecahan Satuan Dasar

Tripel bilangan (5, 4, 3) dan kelipatannya, seperti (10, 8, 6), (15, 12, 9), dan seterusnya, merupakan contoh Tripel Pythagoras. Dalam hal ini, tripel (5, 4, 3) merupakan Tripel Pythagoras Dasar. Contoh Tripel Pythagoras Dasar lainnya adalah (13, 12, 5). Perhatikan bahwa faktor persekutuan bersama dari suatu Tripel Pythagoras Dasar adalah 1.

Nah, bagaimana dengan Tripel Pecahan Satuan? Saya baru menyadari belakangan (setelah mengunggah artikel tentang Tripel Pecahan Satuan dan Tripel Arcus Tangen seminggu yang lalu) bahwa tripel (k, k + 1, k2 + k) merupakan Tripel Pecahan Satuan Dasar, tetapi banyak tripel lainnya yang juga merupakan Tripel Pecahan Satuan Dasar.

Untuk memperoleh bentuk umum Tripel Pecahan Satuan Dasar, pertama catat bahwa jika kita mempunyai suatu Tripel Pecahan Satuan, maka kelipatannya juga merupakan Tripel Pecahan Satuan. Selanjutnya, misalkan (k, m, n) adalah suatu Tripel Pecahan Satuan, yakni

Tripel Pecahan Satuan Dasar-1

Di sini m, n > k. Misalkan m = k + j. Maka

Tripel Pecahan Satuan Dasar-2

Dari sini kita melihat dua kasus. Kasus pertama, k merupakan kelipatan j, sebutlah k = ij, sehingga

Tripel Pecahan Satuan Dasar-3

Jadi kita peroleh (k, m, n) = (ji, j(i + 1), ji(i + 1)), yang hanya merupakan kelipatan dari tripel (i, i + 1, i(i + 1)).

Kasus kedua, yang lebih umum daripada kasus pertama, k2 merupakan kelipatan j, sebutlah k2 = lj. Dalam hal ini, kita peroleh (k, m, n) = (k, k + j, k + l), yang tidak harus merupakan kelipatan dari suatu tripel (i, i + 1, i(i + 1)). Sebagai contoh, untuk k = 6, j = 4, dan l = 9, kita peroleh tripel (6, 10, 15), dan tripel ini merupakan Tripel Pecahan Satuan Dasar.

Dengan bantuan faktorisasi prima, tripel (k, k + j, k + l) merupakan Tripel Pecahan Satuan Dasar jika dan hanya jika j dan l merupakan bilangan kuadrat, sebutlah j =  adan l = bdengan a dan b relatif prima. Jadi, kita peroleh bentuk umum Tripel Pecahan Satuan Dasar, yaitu  (ab, a(a + b), b(a + b)), dengan a dan b relatif prima. Catat bahwa bentuk ini mencakup tripel (b, b + 1, b(b + 1)) yang telah kita identifikasi sebagai suatu Tripel Pecahan Satuan Dasar sejak awal. [Terima kasih kepada Fajar Yuliawan untuk argumen pamungkas ini.]

*

Bandung, 08-08-2016

 

 

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s