Integral Tentu dan Teorema Dasar Kalkulus

Hendra Gunawan

Dua minggu yang lalu saya mengajar Kalkulus, membahas topik integral tentu dan Teorema Dasar Kalkulus yang menyatakan bahwa: jika f mempunyai anti-turunan F pada interval [a,b], maka

\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).

Setelah memberi beberapa contoh sederhana, saya memperkenalkan teknik substitusi dalam penghitungan integral tentu, dan memberi contoh soal

\int_0^{\pi^2} \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx.

Dengan substitusi u=\sqrt{x}, kita peroleh

\int_0^{\pi^2} \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx=2\int_0^\pi \sin u\,du=-2[\cos \pi-\cos 0]=4.

Selama bertahun-tahun, tidak pernah ada mahasiswa yang mempertanyakan keabsahan perhitungan integral tentu di atas. Namun, kemarin ini, ada seorang mahasiswa bertanya: apakah Teorema Dasar Kalkulus berlaku dalam perhitungan integral di atas, mengingat fungsi f(x):=\frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} tidak terdefinisi di 0?

Dalam hati.. oops! Jeli juga mahasiswa angkatan tahun ini.

Untuk menjawab pertanyaan tersebut, perhatikan bahwa F(x):=-2\cos \sqrt{x} merupakan anti-turunan dari f(x):= \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}} pada interval (0,\pi^2]. Lebih jauh, bila kita hitung dengan menggunakan definisi turunan fungsi di suatu titik, kita peroleh F^\prime(0)=1 (sila periksa). Jadi, F sesungguhnya merupakan anti-turunan dari fungsi f pada [0,\pi^2] yang didefinisikan sebagai

f(x):=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}, & {\rm jika}~ 0<x\le \pi^2,\\1, &{\rm jika}~x=0\end{array}\right.

Di sini, Teorema Dasar Kalkulus berlaku, yakni \int_0^{\pi^2} f(x)dx = F(\pi^2)-F(0). Namun, di buku teks pada umumnya, integral fungsi tersebut di atas dituliskan sebagai \int_0^{\pi^2} \frac{\sin \sqrt{x}}{\sqrt{x}}dx. Dalam hal ini, kita seolah mendefinisikan \frac{\sin 0}{0}=1. (Kelak ketika integral tak wajar diperkenalkan, saya harus mengingatkan bahwa integral ini bukan integral tak wajar, karena fungsi integran-nya tidak ‘tak terbatas’ di sekitar x=0.)

*

Bandung, 02-11-2019

Published by Hendra Gunawan

I'm a professor of mathematics at the Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Bandung Institute of Technology, Bandung, Indonesia.

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

Gravatar
WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. ( Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. ( Log Out /  Change )

Cancel

Connecting to %s