Deret Fourier Klasik sebagai Fungsi (Bernilai) Kompleks

Deret Fourier klasik sebetulnya lebih mudah dilihat sebagai fungsi bernilai kompleks. Dengan memanfaatkan rumus Euler:

e^{inx}=\cos nx + i\sin nx,

kita tinjau himpunan fungsi \{e^{inx}\,:\,n\in\mathbb{Z}\}, alih-alih himpunan fungsi \{\cos nx\,:\,n\in\mathbb{N}\cup\{0\}\} dan \{\sin nx\,:\,n\in\mathbb{N}\}.

Perhatikan bahwa untuk m\not=n, kita mempunyai

\int_{-\pi}^{\pi} e^{i(m-n)x}dx =\frac{1}{i(m-n)}e^{i(m-n)x}\Bigr|_{-\pi}^\pi=0.

Ini berarti bahwa e^{imx} \perp e^{inx} terhadap hasil kali dalam \langle\cdot,\cdot\rangle dengan

\langle f,g\rangle := \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\overline{g(x)}\,dx.

Sementara itu, untuk m=n, kita mempunyai

\int_{-\pi}^{\pi} e^{i(m-n)x}dx=\int_{-\pi}^{\pi} dx = 2\pi.

Jadi, himpunan fungsi \{e^{inx}\,:\,n\in\mathbb{Z}\} merupakan himpunan ortogonal di ruang hasil kali dalam L^2([-\pi,\pi]). (Dengan normalisasi, kita bisa memperoleh himpunan ortonormal darinya.)

Nah, bila f:[-\pi,\pi]\to\mathbb{C} dinyatakan sebagai f(x)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} c_ne^{inx}, maka rumus untuk koefisien c_n adalah

c_n=\frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)e^{-inx}dx=\frac{1}{2\pi}\langle f,e^{in\cdot}\rangle

untuk setiap n\in\mathbb{Z}. (Catat bahwa rumus ini berlaku pula untuk n=0.)

Deret Fourier untuk f dalam hal ini adalah \frac{1}{2\pi}\sum_{n=-\infty}^{\infty} \langle f,e^{in\cdot}\rangle e^{inx}.

*

Bandung, 28-09-2019

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s