Metrik pada R^n

Di ruang {\bf R}^n, kita mempunyai metrik Euclid

d_2(x,y):=\sqrt{(x_1-y_1)^2+\cdots+(x_n-y_n)^2},

untuk setiap x=(x_1,\dots,x_n),\ y=(y_1,\dots,y_n)\in {\bf R}^n.

Lebih umum, ruang {\bf R}^n dapat dilengkapi dengan metrik

d_p(x,y):=\{|x_1-y_1|^p+\cdots+|x_n-y_n|^p\}^{1/p},

dengan 1\le p<\infty. Sebagai contoh, bila p=1, maka metriknya adalah

d_1(x,y):=|x_1-y_1|+\cdots+|x_n-y_n|.

Apa yang terjadi bila p\to\infty? Untuk melihatnya, tinjau p=k\in {\bf N} saja. Perhatikan bahwa untuk setiap x=(x_1,\dots,x_n),\ y=(y_1,\dots,y_n)\in {\bf R}^n, kita mempunyai

|x_m-y_m|^k \le |x_1-y_1|^k+\cdots+|x_n-y_n|^k \le n|x_m-y_m|^k

dengan m\in\{1,\dots,n\} sedemikian sehingga |x_m-y_m|={\rm maks} \{|x_1-y_1|,\dots,|x_n-y_n|\}.

Selanjutnya, pangkatkan tiap ruas dengan 1/k, sehingga kita peroleh

|x_m-y_m| \le \{|x_1-y_1|^k+\cdots+|x_n-y_n|^k\}^{1/k} \le n^{1/k}|x_m-y_m|.

Nah, kita tahu bahwa n^{1/k}\to 1 bila k\to \infty. Karena itulah kita mendefinisikan metrik d_\infty pada {\bf R}^n sebagai

d_\infty(x,y):={\rm maks} \{|x_1-y_1|,\dots,|x_n-y_n|\}.

*

Bandung, 06-07-2019

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s