Ketaksamaan Jejak Lokal untuk Operator Potensial

Operator integral fraksional yang telah saya perkenalkan beberapa kali di blog ini dikenal juga sebagai potensial Riesz. Di {\bf R}^n, operator integral fraksional I_\alpha (0<\alpha<n) memetakan fungsi f ke fungsi I_\alpha f dengan

I_\alpha f(x):=\int_{{\bf R}^n} \frac{f(y)}{|x-y|^{n-\alpha}} dy,\quad x\in{\bf R}^n.

Untuk n=3 dan \alpha=2, fungsi I_2f dikenal sebagai potensial Newton untuk f.

Pada tahun 1971, D.R. Adams membuktikan bahwa ketaksamaan jejak (trace inequality)

\|I_\alpha f\|_{L^q(d\mu)} \le C\,\|f\|_{L^p(dx)}

berlaku jika dan hanya jika

\sup\limits_{Q\in \mathcal{D}} \frac{|Q|^{\alpha/n}}{|Q|^{1/p}}\mu(Q)^{1/q} < \infty

dengan 1<p<q<\infty dan \mu adalah ukuran Borel taknegatif terhingga secara lokal di {\bf R}^n. Di sini, Q menyatakan kubus (berdimensi n) yang memiliki sisi-sisi sejajar dengan sumbu-sumbu koordinat, dan \mathcal{D} adalah keluarga kubus bersisi diadik di {\bf R}^n. (Ada kalanya kita lebih mudah bekerja dengan kubus daripada bola di {\bf R}^n.)

Dalam paper “The local trace inequality for potential type integral operators” yang dipublikasikan di Potential Analysis 38 no. 2 (2013), 653-681, saya dan H. Tanaka membuktikan ketaksamaan jejak untuk operator integral fraksional diperumum di ruang Morrey diperumum, yang merupakan generalisasi dari hasil Adams di atas. Sila unduh dan pelajari papernya bila Anda tertarik.

O ya, saya sudah pernah cerita belum ya, Hitoshi Tanaka adalah matematikawan tunanetra. Matematika memang tidak membutuhkan indera penglihatan.

*

Bandung, 21-05-2019

 

Advertisements

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s