Modus dan Metrik Diskrit

Bila nilai rata-rata dari sekumpulan bilangan x_1,\dots,x_N adalah bilangan r yang meminimumkan \sum\limits_{i=1}^N (x_i-r)^2 dan median adalah bilangan m yang meminimumkan \sum\limits_{i=1}^N |x_i-m|, maka modus adalah bilangan yang meminimumkan apa?

Pertanyaan ini saya ajukan kepada Yersita, mahasiswa S2 Pengajaran Matematika yang sedang mengambil Projek Akhir bersama dengan saya. Sebelumnya, Yersita telah mengetahui bahwa nilai tengah atau mid-range adalah bilangan t yang meminimumkan {\rm maks} |x_i-t|.

Jadi, nilai di tengah (median), nilai rata-rata (mean), dan nilai tengah (mid-range) adalah bilangan yang meminimumkan simpangan total dengan metrik di \ell^1_N,\ \ell^2_N, dan \ell^\infty_N, berturut-turut.

Kembali ke pertanyaan di atas, modus adalah bilangan yang meminimumkan apa? Kira-kira metrik d:\mathbb{R}\times\mathbb{R} \to \mathbb{R} apa yang akan menjadikan modus M sebagai bilangan yang meminimumkan \sum\limits_{i=1}^N d(x_i,M)?

Saya meminta Yersita mempelajari berbagai metrik yang ada di buku Analisis Fungsional. Metrik yang dicari adalah metrik yang sering dibahas sebagai contoh, setelah definisi metrik diberikan. Yersita pun menemukannya. Anda tahu metrik yang dimaksud?

Ya, metrik diskrit, yang pernah dibahas di blog ini. Modus merupakan bilangan M yang meminimumkan \sum\limits_{i=1}^N d(x_i,M), dengan d menyatakan metrik diskrit pada \mathbb{R}. Nilai simpangan total dengan metrik diskrit sama dengan N-M. Jika c\not=M, maka \sum\limits_{i=1}^N d(x_i,c) \ge \sum\limits_{i=1}^N d(x_i,M).

Siapa yang menyangka bahwa ukuran lokasi pusat yang dipelajari dalam Statistika akan menjadi menarik bila dicermati dengan kaca mata Analisis Fungsional?

*

Bandung, 25-02-2020

2 Comments

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s