Rumus Heron untuk Luas Daerah Segitiga

Kita sudah mengenal bentuk segitiga sejak SD. Kita pun tahu rumus luas daerahnya, yaitu ½ × alas × tinggi. Tetapi, bagaimana kita dapat menghitung luas daerah segitiga bila yang kita ketahui adalah panjang ketiga sisi segitiga tersebut?

Misal panjang ketiga sisi segitiga tersebut adalah a, b, dan c cm, dengan a merupakan panjang sisi terpanjang (lihat gambar).

segitiga-sembarang

Maka, kita dapat menghitung luas daerah segitiga dengan menggunakan rumus

L = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)},

dengan s=\frac12(a+b+c). Rumus ini dikenal sebagai rumus Heron.

Heron adalah matematikawan Alexandria (Mesir) yang hidup kira-kira pada tahun 10-70 M. Bagaimana kira-kira ia mendapatkan rumus tersebut?

Salah satu kemungkinannya adalah dengan dengan menghitung tinggi segitiga tersebut terlebih dahulu, dengan bantuan Dalil Pythagoras, sebagai berikut (lihat gambar).

rumus-Heron

Dari segitiga siku-siku di sebelah kiri, kita peroleh a_1^2+t^2=b^2; sementara dari segitiga siku-siku di sebelah kanan, kita peroleh (a-a_1)^2+t^2=c^2. Dengan mengeliminasi t, kita dapatkan a^2+b^2-2aa_1=c^2, sehingga akhirnya kita peroleh

a_1=\frac{a^2+b^2-c^2}{2a}.

Dari sini kemudian kita dapatkan

t^2=b^2-a_1^2=b^2-\Bigl(\frac{ a^2+b^2-c^2}{2a}\Bigr)^2=\frac{4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2}{4a^2}.

Dengan memfaktorkan pembilangnya, kita peroleh

t^2=\frac{[2ab+(a^2+b^2-c^2)][2ab-(a^2+b^2-c^2)]}{4a^2}=\frac{[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]}{4a^2}.

Kita uraikan lebih lanjut pembilangnya, sehingga persamaan di atas menjadi

t^2=\frac{(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)}{4a^2}=\frac{2s\cdot 2(s-c) \cdot 2(s-b) \cdot 2(s-a)}{4a^2} = \frac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{a^2},

dengan s=\frac12(a+b+c).

Akhirnya kita dapatkan rumus luas daerahnya, yaitu

L=\frac12 at = \frac12 a \sqrt{\frac{4s(s-a)(s-b)(s-c)}{a^2}}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}.

Eureka!

*

Bandung, 15-06-2019

Advertisements

1 Comment

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s