Ruang Morrey

Di blog ini, saya telah beberapa kali menyebut ruang Morrey. Sekarang saya akan memperkenalkannya lebih jauh. Untuk 1\le p<\infty dan 0\le \lambda \le n, ruang Morrey L^{p,\lambda} adalah ruang bernorma yang beranggotakan fungsi f:{\bf R}^n \to {\bf R} dengan norma

\|f\|_{p,\lambda} := \sup\limits_{B=B(a,r)} \Bigl( \frac{1}{r^\lambda} \int_B |f(x)|^p\,dx \Bigr)^{1/p}<\infty.

Perhatikan jika \lambda=0, maka L^{p,0} tak lain adalah ruang Lebesgue L^p yang beranggotakan fungsi f:{\bf R}^n \to {\bf R} dengan

\|f\|_p := \Bigl(\int_{{\bf R}^n} |f(x)|^p\,dx\Bigr)^{1/p} < \infty.

Jadi ruang Morrey merupakan suatu perumuman dari ruang Lebesgue.

Nah, untuk 0<\lambda\le n, dapat diperiksa bahwa fungsi f(x):=|x|^{(\lambda-n)/p} merupakan anggota L^{p,\lambda}. (Untuk memeriksanya, Anda perlu mengetahui bagaimana menghitung intergral di ruang Euclid {\bf R}^n. Tetapi, fungsi di atas merupakan fungsi radial; jadi integralnya relatif mudah dihitung dengan menggunakan koordinat polar.)

Sebagai ilustrasi, ntuk n=2, kita dapat menghitung integralnya pada cakram B(0,R) terlebih dahulu:

\int_{B(0,R)} |x|^{\lambda - 2}dx = \int_0^{2\pi} \int_0^r r^{\lambda-2}rdr d\theta = \frac{2\pi}{\lambda}R^{\lambda}.

Bagi dengan R^\lambda, lalu pangkatkan \frac{1}{p}, kita peroleh

\Bigl(\frac{1}{R^\lambda} \int_{B(0,R)} |x|^{\lambda-2}dx\Bigr)^{1/p} = \bigl(\frac{2\pi}{\lambda}\bigr)^{1/p}.

Nilai ini tidak bergantung pada R (= jari-jari cakram). Bila kita hitung integralnya pada cakram lain yang berpusat di a\not=0 dan berjari-jari r, maka integralnya akan didominasi oleh integral pada cakram B(0,|a|+r). Jadi nilai supremum atas semua integral pada cakram B(a,r) sama dengan nilai supremum atas semua integral pada cakram B(0,R). Tetapi, kita telah menghitung di atas bahwa integral pada cakram B(0,R) sama dengan \bigl(\frac{2\pi}{\lambda}\bigr)^{1/p}, yang tidak bergantung pada R. Jadi, kita simpulkan bahwa \| |x|^{(\lambda-2)/p}\|_{p,\lambda}=\bigl(\frac{2\pi}{\lambda}\bigr)^{1/p}.

Fungsi pangkat semacam itu tidak dimungkinkan menjadi anggota ruang Lebesgue. Dengan contoh tersebut tampak bahwa anggota ruang Morrey `lebih banyak’ daripada anggota ruang Lebesgue.

Bila Anda tertarik mempelajari ruang Morrey lebih lanjut, sila tengok paper-paper saya yang judulnya mengandung frase `Morrey spaces’.

*

Bandung, 09-03-2019

Advertisements

3 Comments

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google photo

You are commenting using your Google account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s