Prinsip Induksi Matematika

Hendra Gunawan

Salah satu aksioma Peano menyatakan jika suatu pernyataan benar untuk n=1 dan jika kebenaran pernyataan itu untuk n=k mengakibatkan kebenaran pernyataan untuk n=k+1, maka pernyataan itu benar untuk setiap bilangan asli n.

Aksioma Peano tersebut dikenal sebagai Prinsip Induksi Matematika, dan sering dipakai untuk membuktikan kebenaran suatu pernyataan yang terkait dengan bilangan asli.

Berdasarkan prinsip ini, ada dua langkah yang harus kita lakukan untuk membuktikan kebenaran pernyataan P(n) untuk setiap bilangan asli n. Langkah pertama adalah memeriksa kebenaran P(1). Langkah ini dikenal sebagai langkah dasar atau langkah basis. Langkah kedua adalah memeriksa kebenaran implikasi “jika P(k) benar, maka P(k+1) benar”. Langkah ini dikenal sebagai langkah induksi.

Jika kita berhasil membuktikan kedua hal tersebut, maka kita dapat menyimpulkan bahwa pernyatan P(n) benar untuk setiap bilangan asli n.

Sebagai contoh, misal kita ingin membuktikan bahwa 1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2 untuk setiap bilangan asli n. Di sini, P(n) adalah pernyataan bahwa 1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2.

Pertama, kita periksa bahwa 1 = 1^2. Jadi P(1) benar. Selanjutnya, kita harus membuktikan jika P(k) benar, maka P(k+1) benar. Untuk itu, misalkan P(k) benar, yaitu bahwa 1+3+\dots+(2k-1)=k^2. Maka, kita peroleh

1+3+\dots+(2k-1)+(2k+1)=k^2+(2k+1)=(k+1)^2,

yang berarti bahwa P(k+1) benar.

Berdasarkan Prinsip Induksi Matematika, kita simpulkan bahwa P(n) benar atau 1+3+5+\dots+(2n-1)=n^2 untuk setiap bilangan asli n.

Catatan. Kebenaran pernyataan P(n) di atas dapat dibuktikan dengan cara lain. Pembuktian dengan Prinsip Induksi Matematika di sini hanya untuk memperlihatkan bagaimana prinsip ini diterapkan.

*

Bandung, 02-02-2019

Published by Hendra Gunawan

I'm a professor of mathematics at the Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Bandung Institute of Technology, Bandung, Indonesia.

6 Comments

  1. Guru yg pernah saya tanya atau mahasiswa saya sering menulis seperti ini pada bagian akhir.
    1+3+\cdots +(2k-1)+(2k+1)=(k+1)^2
    k^2+(2k+1) = (k+1)^2
    (k+1)^2 = (k+1)^2
    Berdasarkan PIM, 1+3+\cdots +(2n-1)=n^2 benar untuk semua bilangan asli n .
    Jika mahasiswa Bapak menjawab seperti itu, Bapak kasih nilai berapa utk skala 0 – 10?
    Terima kasih.

    Like

    Reply

      1. wait.. i seee.. salah ketik maaf2.. comment sebelumnya di delete saja yaaa

        Like

    2. Saya kurangi 1 poin; tetapi saya beri catatan tentang penulisan yang diharapkan.
      Salam, HG

      Like

      Reply
  2. Pingback: Prinsip Induksi Matematika | Ideanesia
  3. Pingback: Prinsip Induksi Kuat – Bermatematika

Leave a comment