Ketaksamaan Bessel

Dalam artikel tentang ortonormalisasi Gram-Schmidt, saya telah menjelaskan keistimewaan suatu himpunan ortonormal. Bila \{v_1,\dots,v_n\} adalah suatu himpunan ortonormal di ruang hasil kali dalam (H,\langle \cdot,\cdot\rangle) dan u\in H, maka projeksi ortogonal u terhadap subruang V yang direntang oleh v_1,\dots,v_n adalah

{\rm proj}_V(u)=\sum\limits_{k=1}^n \langle u,v_k\rangle v_k.

Di sini, H tentunya memiliki dimensi lebih besar daripada n.  Bahkan bisa saja H berdimensi takterhingga. Dalam hal \dim H =\infty, bilangan n bisa sangat besar, bahkan bisa takterhingga juga.

Sebagai contoh, tengok H=\ell^2, yaitu ruang barisan x=(x_j) dengan \sum\limits_{j=1}^\infty x_j^2<\infty, yang dilengkapi dengan hasil kali dalam \langle x,y\rangle =\sum\limits_{j=1}^\infty x_jy_j. Tinjau himpunan barisan \{e_k\,:\,k\in{\bf N}\} dengan e_k memiliki suku ke-j\ e_{kj}=0 bila j\not=k dan suku ke-k\ e_{kk}=1. Sebagai contoh, e_2=(0,1,0,0,0,\dots). Anda dapat memeriksa bahwa \{e_k\,:\,k\in{\bf N}\} merupakan suatu himpunan ortonormal di \ell^2.

Kembali ke himpunan ortonormal \{v_1,\dots,v_n\} di ruang hasil kali dalam (H,\langle\cdot,\cdot\rangle) secara umum, ada suatu ketaksamaan yang berlaku, yaitu

\sum\limits_{k=1}^n |\langle u,v_k\rangle|^2 \le \|u\|^2,

untuk setiap u\in H. Di sini, \|\cdot\| menyatakan norma yang diinduksi dari hasil kali dalam \langle\cdot,\cdot\rangle. Ketaksamaan di atas dikenal sebagai ketaksamaan Bessel.

Untuk membuktikannya, tinjau komplemen ortogonal u terhadap subruang yang direntang oleh v_1,\dots,v_n, yaitu u^\perp=u-\sum\limits_{k=1}^n \langle u,v_k\rangle v_k. Nah, dengan menggunakan sifat-sifat hasil kali dalam dan asumsi bahwa \{v_1,\dots,v_n\} merupakan suatu himpunan ortonormal, kita dapat menghitung

\|u^\perp\|^2=\|u-\sum\limits_{k=1}^n \langle u,v_k\rangle v_k\|^2=\|u\|^2-\sum\limits_{k=1}^n |\langle u,v_k\rangle|^2.

Karena \|u^\perp\|^2\ge 0, kita peroleh

\sum\limits_{k=1}^n |\langle u,v_k\rangle|^2\le \|u\|^2,

sesuai dengan harapan kita.

Ada satu pertanyaan terkait ketaksamaan Bessel, yaitu: kapankah kesamaan berlaku? Dalam ruang berdimensi terhingga, jawabannya adalah ketika n sama dengan dimensi H. Di ruang berdimensi takterhingga, sekalipun n=\infty, tidak ada jaminan bahwa kesamaan akan berlaku. Ada syarat lainnya yang harus dipenuhi oleh himpunan ortonormal \{v_k\,:\,k\in{\bf N}\}. Apa itu, tunggu artikel selanjutnya.

*

Bandung, 10-11-2018

 

Advertisements

2 Comments

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s