Hipotesis Riemann dan Distribusi Bilangan Prima

Hendra Gunawan

Pada tahun 2016, saya pernah membahas deret kebalikan bilangan prima di blog ini. Ketika itu saya membuktikan bahwa

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n} = \prod_{p\,{\rm prima}} \Bigl(1-\frac{1}{p}\Bigr)^{-1}.

Dalam hal ini, deret di ruas kiri merupakan deret yang divergen, sehingga hasil kali di ruas kanan pun divergen (ke +\infty.) [O ya, bila Anda belum sempat membaca artikel saya tentang deret kebalikan bilangan prima, hubungan di atas diperoleh dengan menggunakan deret geometri (1-\frac{1}{p})^{-1}=1+\frac{1}{p}+\frac{1}{p^2}+\cdots dan Teorema Dasar Aritmetik yang menyatakan bahwa setiap bilangan asli n\in{\bf N} memiliki faktorisasi prima tunggal.]

Nah, dengan cara yang sama, untuk {\rm Re}(s)>1, kita mempunyai hubungan

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} = \prod_{p\,{\rm prima}} \Bigl(1-\frac{1}{p^s}\Bigr)^{-1}.

Sekarang deret di ruas kiri konvergen mutlak, sehingga hasil kali di ruas kanan pun konvergen (mutlak).

Hasil kali di ruas kanan dikenal sebagai hasil kali Euler. Banyak teorema tentang bilangan prima dibuktikan dengan menggunakan hubungan di atas dan Hipotesis Riemann (yang menyatakan bahwa fungsi zeta Riemann hanya mempunyai akar bilangan genap negatif dan bilangan kompleks dengan bagian real \frac12.)

Sekadar ilustrasi, tinjau fungsi

\Phi(x):=\sum_p \frac{\log p}{p^s},\quad {\rm Re}(s)>1.

Maka, dapat diperiksa bahwa

-\frac{\zeta^\prime}{\zeta}(s)=\sum_p \frac{\log p}{p^s-1} = \Phi(s) + \sum_p h_p(s),

dengan |h_p(s)|\le C\,\frac{\log p}{|p^{2s}|}, karena

\frac{1}{p^s-1}=\frac{1}{p^s}\frac{1}{1-\frac{1}{p^s}}=\frac{1}{p^s}\Bigl(1+\frac{1}{p^s}+\cdots\Bigr)=\frac{1}{p^s}+\frac{1}{p^{2s}}+\cdots.

Dari hubungan di atas diperoleh bahwa \Phi(s) meromorfik untuk {\rm Re}(s)>\frac12 dan mempunyai kutub hanya di s=1 dan akar-akar \zeta(s).

Selanjutnya, jika kita definisikan \varphi(x):=\sum_{p\le x} \log p, maka dapat diperiksa bahwa

\Phi(s)=s\int_1^\infty \frac{\phi(x)}{x^{s+1}}\,dx.

Dari hubungan ini tinggal selangkah lagi untuk sampai pada Teorema Bilangan Prima, yang menyatakan bahwa banyaknya bilangan prima yang lebih kecil daripada x, yang biasanya dilambangkan dengan \pi(x), kurang lebih sama dengan \frac{x}{\log x}, yakni:

\pi(x) \sim \frac{x}{\log x}.

Itulah antara lain mengapa Hipotesis Riemann penting. Andai Hipotesis Riemann salah, banyak teorema tentang distribusi bilangan prima batal.

*

Bandung, 25-09-2018

Published by Hendra Gunawan

I'm a professor of mathematics at the Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Bandung Institute of Technology, Bandung, Indonesia.

2 Comments

Leave a comment