Fungsi Zeta Riemann dan Hipotesis Riemann

Hendra Gunawan

Kemarin, Senin 24-09-2018, Michael Atiyah memberikan seminar pada Heidelberg Laureate Forum di Heidelberg, Jerman, dan menyampaikan bukti Hipotesis Riemann. “The proof is there“, ujar Atiyah ketika ia ditanya kapan buktinya tersedia untuk diperiksa (oleh pihak ketiga). Bila Anda tertarik untuk turut memeriksanya, sila baca papernya: The_Riemann_Hypothesis.

Hipotesis Riemann diajukan oleh Bernhard Riemann pada tahun 1859 dan dinyatakan oleh David Hilbert sebagai masalah ke-8 dari 23 masalah matematika yang dikemukakannya pada International Congress of Mathematician tahun 1900 di Paris. Masalah yang telah berusia 159 tahun itu juga merupakan salah satu Millenium Prize Problem yang belum terpecahkan hingga tahun ini.

Hipotesis atau konjektur Riemann menyatakan bahwa fungsi zeta Riemann hanya bernilai nol pada bilangan genap negatif (yakni -2, -4, -6, dan seterusnya) dan bilangan kompleks dengan bagian real 1/2. Bagi teman-teman yang ingin tahu apa fungsi zeta Riemann itu, saya akan memperkenalkannya di sini.

Dalam Kalkulus, kita mempelajari bahwa deret \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s} konvergen jika dan hanya jika s>1. Di sini, s \in {\bf R}. Untuk s=2, misalnya, kita mengetahui bahwa \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}. Untuk s=1, kita mempunyai \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}=\infty. Nah, fungsi zeta Riemann adalah fungsi kompleks

\zeta(s):=\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}

yang pada awalnya terdefinisi untuk s\in{\bf C} dengan bagian real {\rm Re}(s)>1. Deret kompleks di ruas kanan merupakan deret konvergen mutlak karena |n^s| = n^{{\rm Re}(s)} untuk setiap bilangan asli n.

Daerah definisi fungsi zeta Riemann dapat diperluas ke seluruh bidang kompleks melalui kontinuasi analitik, dengan menggunakan fungsi Gamma dan integral Hankel (lihat S. Lang, Complex Analysis, 3rd ed., Springer-Verlag, New York, 1993). Selain itu, diperoleh bahwa fungsi zeta Riemann memenuhi persamaan

\zeta(s) = (2\pi)^s \Gamma(1-s) \frac{\sin \frac{1}{2}\pi s}{\pi} \zeta(1-s).\quad(\ast)

Pada awalnya, (\ast) berlaku untuk {\rm Re}(s)<0 ketika \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^{1-s}} konvergen. Tetapi, \zeta(s) merupakan fungsi meromorfik (yakni, terdefinisi kecuali pada sejumlah titik kutub). Akibatnya, (\ast) berlaku pula untuk s lainnya, lagi-lagi melalui kontinuasi analitik. Lebih jauh, dapat diperiksa bahwa \zeta(s) holomorfik untuk {\rm Re}(s)>1, sehingga titik kutub \zeta(s) hanyalah titik s=1.

Melalui persamaan (\ast), kita dapat menghitung bahwa \zeta(-1)=-\frac{1}{12}. Nilai ini sering ‘dipelesetkan’ sebagai jumlah dari deret \sum_{n=1}^\infty n\ :\ 1+2+3+\dots=-\frac{1}{12}. Perhatikan bahwa melalui (\ast) kita dapatkan \zeta(s)=0 untuk s=-2k,\ k\in{\bf N}, karena \sin (-\pi k)=0 untuk setiap k\in {\bf N}. Dalam hal ini, titik-titik s=-2k,\ k\in{\bf N}, merupakan akar-akar trivial dari \zeta(s).

Pertanyaannya kemudian: apakah \zeta(s) mempunyai akar lainnya? Di sinilah Riemann membuat konjektur: bahwa akar-akar lainnya hanya mungkin ada pada garis {\rm Re}(s)=\frac{1}{2}. Catat bahwa garis {\rm Re}(s)=\frac{1}{2} merupakan garis simetri persamaan (\ast).

Pada artikel selanjutnya, saya akan menjelaskan kaitan antara fungsi zeta Riemann dan hasil kali Euler serta banyaknya bilangan prima yang lebih kecil daripada x\ (x>1).

*

Bandung, 25-09-2018

Sumber gambar: https://en.wikipedia.org/wiki/Bernhard_Riemann

 

Published by Hendra Gunawan

I'm a professor of mathematics at the Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Bandung Institute of Technology, Bandung, Indonesia.

7 Comments

  1. Terima kasih Prof., saya senang membaca artikel ini meskipun sama sekali saya tidak mengerti. Bagi saya yang hanya belajar kalkulus hingga di SMU, hanya bisa membayangkan betapa indahnya bermatematika itu.

    Like

    Reply

  2. Kalo bisa dibahas juga sampai implikasi jika rh terbukti benar. Apa benar yg digembor gemborkan banyak orang bahwa implikasi rh adalah kita mampu memprediksi bil prima? Kok kayaknya terlalu lebay ya

    Like

    Reply
  3. Pingback: Perkembangan Matematika dari Zaman Purbakala ke Zaman Modern | Superprof

  4. Setahu saya Hipotesis Riemann sudah terbukti Prof. CMI sudah memberikan hadiahnya. Klo boleh, tolong tuliskan gagasan utama soal persamaan Goldbach.

    Like

    Reply

Leave a comment