Operasi Konvolusi dan Ketaksamaan Young

Bila kita mempunyai dua bilangan, kita dapat melakukan operasi penjumlahan dan operasi perkalian pada kedua bilangan tersebut, dan sebagai hasilnya kita peroleh suatu bilangan baru.

Bila kita mempunyai dua fungsi dari R ke R, kita juga dapat melakukan operasi penjumlahan dan operasi perkalian pada kedua fungsi tersebut, dan sebagai hasilnya kita peroleh suatu fungsi baru. Sebagai contoh, jika f(x)=x^2 dan g(x)=\sin x, maka kita peroleh

(f+g)(x)=f(x)+g(x)=x^2+\sin x dan (fg)(x)=f(x)g(x)=x^2\sin x.

Nah, selain operasi aljabar, terdapat pula operasi komposisi dua fungsi: jika f(x)=x^2 dan g(x)=\sin x, maka komposisinya adalah (g \circ f)(x)=g(f(x))=\sin x^2.

Operasi penjumlahan, perkalian, dan komposisi di antara dua fungsi telah Anda kenal sejak di SMA. Di perguruan tinggi, bila Anda beruntung, Anda akan berkenalan dengan operasi konvolusi di antara dua fungsi. Jika f dan g adalah dua fungsi yang terdefinisi pada R, maka konvolusi dari f dan g, dilambangkan dengan f * g, didefinisikan oleh

(f*g)(x):=\int_{-\infty}^\infty f(x-y)g(y)\,dy,\quad x\in{\bf R},

asalkan integral ini konvergen.

Perhatikan jika f\in L^1({\bf R}) (yakni, f terintegralkan pada R) dan g terbatas (yakni, terdapat M>0 sedemikian sehingga |g(y)|\le M untuk setiap y\in{\bf R}), maka

\int_{-\infty}^\infty |f(x-y)g(y)|\,dy\le M\int_{-\infty}^\infty |f(x-y)|\,dy <\infty

untuk setiap x\in{\bf R}. Selanjutnya, jika f,g\in L^2({\bf R}), maka menurut ketaksamaan Cauchy-Schwarz

\int\limits_{-\infty}^\infty |f(x-y)g(y)|\,dy\le \left( \int\limits_{-\infty}^\infty |f(x-y)|^2 dy\right)^{\frac12} \left( \int\limits_{-\infty}^\infty |g(y)|^2dy \right)^{\frac12}<\infty

untuk setiap x\in{\bf R}. Jadi, (f*g)(x) terdefinisi dengan baik untuk setiap x\in{\bf R} setidaknya untuk beberapa kasus di atas.

Nah, lebih jauh, jika f dan g dua-duanya teringegralkan pada R, maka f*g juga terintegralkan pada R, dengan

\|f*g\|_1=\int_{-\infty}^\infty \left| \int_{-\infty}^\infty f(x-y)g(y)\,dy\right|\,dx \le \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty |f(x-y)|\,dx |g(y)| dy = \|f\|_1\|g\|_1.

Di sini, urutan pengintegralan dapat ditukar karena fungsi f(x-y)g(y) terintegralkan mutlak pada {\bf R}^2.

Ketaksamaan di atas merupakan kasus khusus dari ketaksamaan Young, yang berbunyi sebagai berikut: Jika f\in L^p({\bf R}) dan g\in L^q({\bf R}) dan \frac1p+\frac1q=\frac1r + 1 dengan 1\le p,q,r\le\infty, maka f*g\in L^r({\bf R}) dengan

\|f*g\|_r \le \|f\|_p\|g\|_q.

Ketaksamaan ini dapat dibuktikan dengan menggunakan ketaksamaan Hölder di ruang Lebesgue.

*

Bandung, 08-09-2018

Advertisements

2 Comments

  1. Prof, kalau boleh saya bertanya: interpretasi dari konvolusi atas dua fungsi bagaimana ya? Kemudian, operasi ini adalah pendekatan natural dari fenomena apa?

    Terima kasih

    Like

    1. Interpretasinya kira-kira begini: salah satu di antara kedua fungsi tsb (misal f) dapat dianggap sebagai konvolutor. Nah, sekarang bayangkan f = fungsi karakteristik interval satuan (yang bernilai 1 pada interval [-1/2,1/2] dan bernilai 0 di luar interval tsb). Maka, (f * g)(x) = \int_{x-1/2}^{x+1/2} g(y)dy, yaitu nilai rata-rata g pada interval [x-1/2,x+1/2]. Jadi f akan membuat g menjadi lebih mulus. Dalam teori persamaan diferensial parsial, misal persamaan panas, solusinya seringkali merupakan konvolusi dari suatu fungsi kernel dengan fungsi kondisi awal. Begitu kira-kira tambahan informasinya. Salam, HG

      Liked by 1 person

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s