Ruang L^2 dan Ruang Hasil Kali Dalam

Masih ingat ruang Lebesgue L^p=L^p({\bf R}^n) yang telah kita bahas sebelumnya? Nah, untuk p = 2, ruang L^2 mempunyai struktur geometris yang lebih kaya dibandingkan dengan ruang L^p,\ p\not=2.

Di L^2, kita dapat mendefinisikan hasil kali dalam \langle\cdot,\cdot\rangle : L^2 \times L^2 \to {\bf R} dengan rumus

\langle f,g\rangle := \int_{{\bf R}^n} f(x)g(x)\,dx,\quad f,g\in L^2.

Dalam hal ini, (L^2,\langle \cdot,\cdot\rangle) merupakan suatu ruang hasil kali dalam.

Perhatikan bahwa hasil kali dalam yang didefinisikan dengan rumus di atas memenuhi empat sifat berikut:

  1. \langle f,f\rangle \ge 0 untuk setiap f\in L^2, dan \langle f,f\rangle =0 jika dan hanya jika f\equiv 0 hampir di mana-mana;
  2. \langle f,g\rangle=\langle g,f\rangle untuk setiap f,g\in L^2;
  3. \langle f+g,h\rangle =\langle f,h\rangle + \langle g,h\rangle untuk setiap f,g,h \in L^2; dan
  4. \langle \alpha f,g\rangle=\alpha \langle f,g\rangle untuk setiap f,g\in L^2 dan \alpha\in{\bf R}.

Catat juga bahwa \|f\|=\langle f,f\rangle^{1/2} merupakan norma di L^2, Selain jarak, di L^2 kita dapat pula berbicara tentang sudut yang dibentuk oleh dua fungsi, yang didefinisikan melalui

\cos \theta = \frac{\langle f,g\rangle}{\|f\| \|g\|},\quad f,g\in L^2\setminus\{0\}.

Di balik rumus ini, ada ketaksamaan Cauchy-Schwarz yang menjamin bahwa

|\langle f,g\rangle| \le \|f\| \|g\|,\quad f,g\in L^2.

Ketaksamaan ini jugalah yang memastikan bahwa \|\cdot\| memenuhi ketaksamaan segitiga. Persisnya, kita amati bahwa

\|f+g\|^2=\langle f+g,f+g\rangle = \langle f,f\rangle +2\langle f,g\rangle + \langle g,g\rangle \le (\|f\|+\|g\|)^2,

yang memberikan \|f+g\| \le \|f\|+\|g\|.

Dua fungsi f dan g di L^2 dikatakan ortogonal apabila \langle f,g\rangle=0. Dengan adanya sudut di L^2, kita juga dapat berbicara tentang projeksi ortogonal dari suatu fungsi terhadap fungsi lainnya di L^2, seperti halnya projeksi ortogonal dari suatu vektor terhadap vektor lainnya di {\bf R}^n. Dengan berbagai fasilitas ini, teori deret Fourier dapat dijelaskan dengan gamblang di L^2.

*

Bandung, 01-09-2018

Advertisements

2 Comments

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s