Ruang Lebesgue L^p dan Ruang Bernorma

Membaca postingan hari Selasa, tanggal 22-08-2018, sebagian di antara pembaca mungkin bertanya-tanya tentang ruang Lebesgue L^p({\bf R}^n) ,\ 1\le p\le\infty. Untuk 1\le p<\infty, ruang ini merupakan ruang yang beranggotakan semua fungsi f :{\bf R}^n \to {\bf R} dengan

\int_{{\bf R}^n} |f(x)|^p\,dx <\infty.

Untuk p=\infty, anggotanya adalah semua fungsi f :{\bf R}^n \to {\bf R} dengan

\sup\limits_{x\in {\bf R}^n} |f(x)|<\infty.

Yang dimaksud dengan ‘ruang’ dalam hal ini adalah ruang vektor: jika f,g\in L^p({\bf R}^n) dan \alpha,\beta\in{\bf R}, maka \alpha f+\beta g\in L^p({\bf R}^n).

Nah, ruang L^p({\bf R}^n) merupakan ruang bernorma dengan ‘norma’

\|f\|_p:=\left(\int_{{\bf R}^n} |f(x)|^p\,dx\right)^{1/p}

untuk 1\le p<\infty, atau

\|f\|_\infty:= \sup\limits_{x\in {\bf R}^n} |f(x)|

untuk p=\infty.

Yang dimaksud dengan norma pada suatu ruang vektor X dalam hal ini adalah suatu pemetaan \|\cdot\|: X\to {\bf R} yang bersifat:

  1. \|x\|\ge 0 untuk setiap x\in X, dan \|x\|=0 jika dan hanya jika x=0;
  2. \|\alpha x\|=|\alpha|\,\| x\| untuk setiap x\in X dan \alpha\in{\bf R}; dan
  3. \|x+y\|\le \|x\|+\|y\| untuk setiap x,y\in X.

Ruang vektor X yang dilengkapi dengan norma \|\cdot\| kemudian disebut sebagai ruang bernorma.

Sebagai contoh, ruang Euclid {\bf R}^n yang dilengkapi dengan norma \|x\|:=(x_1^2+\cdots+x_n^2)^{1/2} merupakan ruang bernorma. (Tentu saja kita harus memeriksa bahwa pemetaan \|x\|:=(x_1^2+\cdots+x_n^2)^{1/2} memenuhi ketiga sifat norma di atas. Sila coba.)

Terkait dengan ruang L^p({\bf R}^n), saya menyembunyikan satu fakta kecil yang sesungguhnya cukup penting. Bila Anda memeriksa ketiga sifat norma di atas, Anda akan menemukan bahwa \|f\|=0 hanya mengakibatkan f(x)=0 hampir untuk setiap x\in{\bf R}^n (yakni, f\equiv 0 kecuali pada suatu himpunan berukuran nol). Untuk mengatasinya, dua fungsi di ruang L^p({\bf R}^n) dianggap identik bila kedua fungsi tersebut bernilai sama kecuali pada suatu himpunan berukuran nol. (Terkait dengan hal ini, definisi \|\cdot\|_\infty di ruang L^\infty({\bf R}^n) perlu dimodifikasi, yakni dengan mengganti ‘sup’ dengan ‘ess sup’ — tetapi saya tidak ingin membahasnya secara rinci saat ini.)

O ya, sifat ketiga dikenal sebagai ketaksamaan segitiga. Di ruang L^p({\bf R}^n), ketaksamaan segitiga dikenal sebagai ketaksamaan Minkowski, yang dapat dibuktikan dengan menggunakan ketaksamaan Hölder: jika f\in L^p({\bf R}^n) dan g\in L^q({\bf R}^n) dan \frac1p+\frac1q=1 dengan 1\le p,q\le\infty, maka fg\in L^1({\bf R}^n) dengan

\|fg\|_1 \le \|f\|_p\|g\|_q.

Ruang Lebesgue L^p({\bf R}^n) merupakan ruang fungsi mendasar yang dipelajari dalam Analisis Fungsional. Untuk p=2, ruang L^2({\bf R}^n) merupakan ruang hasil kali dalam, yang lazim menjadi semesta pembicaraan ketika kita berbicara tentang deret Fourier.

*

Bandung, 25-08-2018

Advertisements

5 Comments

  1. OK, diperhatikan.. Pada waktu yang pas nanti saya bahas tentang ruang L^p, yang merupakan ruang vektor yang dilengkapi dengan norma \| . \|_p, dan dengan norma ini L^p merupakan ruang Banach.

    Like

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s