Menentukan Ukuran Tabung Paling Ekonomis

Masih ingat problem menentukan ukuran tabung paling ekonomis yang diunggah di blog ini dua tahun yang lalu?

Problem atau masalah ini merupakan Masalah Nilai Ekstrem dengan kendala: Diberikan luas permukaannya, tentukan volume maksimum. Masalah dualnya adalah: Diberikan volumenya, tentukan luas permukaan minimum.

Rumus volume tabung adalah V=\pi r^2t dengan r menyatakan jari-jari tabung dan t menyatakan tinggi tabung. Luas permukaannya adalah A=2\pi r^2 + 2\pi rt. Jadi, untuk mendapatkan ukuran tabung paling ekonomis, Anda dapat menyelesaikan masalah optimisasi berikut:

(A) Diketahui 2\pi r^2 +2\pi rt = A, tentukan nilai maksimum dari V=\pi r^2t.

Sebagai alternatif, Anda dapat menyelesaikan masalah optimisasi berikut:

(B) Diketahui \pi r^2t = V, tentukan nilai minimum dari A=2\pi r^2 + 2\pi rt.

Dengan menyelesaikan masalah optimisasi (A) atau (B), buktikan bahwa tabung paling ekonomis adalah tabung yang memiliki tinggi sama dengan diameternya.

*

Bandung, 19-02-2018

Advertisements

5 Comments

  1. Saya coba selesaikan masalah optimisasi (B).
    Diberikan volume tabung sebagai V=\pi r^{2}t dan luas permukaannya A=2\pi r^{2}+2\pi rt.
    Berdasarkan ketaksamaan RA-RG kita punya
    A=2\pi r^{2}+\pi rt+\pi rt\geq 3\sqrt[3]{2\pi r^{2}\cdot\pi rt\cdot\pi rt}=3\sqrt[3]{2\pi(\pi^{2}r^{4}t^{2})}=3\sqrt[3]{2\pi V^{2}}

    Kesamaan terjadi jika dan hanya jika \pi rt=\pi rt=2\pi r^{2}, dengan r,t\neq 0. Kita peroleh t=2r. Jadi nilai minimum dari A dicapai ketika panjang tinggi dan diameternya sama, yaitu

    A=2\pi r^{2}+2\pi r(2r)=6\pi r^{2}

    Like

  2. Sekarang saya akan selesaikan masalah optimisasi (A) dengan menggunakan metode pengali Lagrange. Fungsi yang akan dimaksimumkan adalah V(r,t)=\pi r^{2}t dengan kendala A(r,t)=2\pi r^{2}+2\pi rt. Kita punya fungsi bantuannya sebagai

    F(r,t)=\pi r^{2}t+\lambda (2\pi r^{2}+2\pi rt)

    Turunkan fungsi F terhadap r dan juga terhadap t untuk memperoleh

    \frac{dF}{dr}=2\pi rt+\lambda (4\pi rt+2\pi t)=0 \Leftrightarrow \lambda=\frac{-2rt}{4r+2t}

    \frac{dF}{dt}=\pi r^{2}+\lambda (2\pi r)=0\Leftrightarrow \lambda=-\frac{r}{2}

    Berdasarkan nilai-nilai \lambda yang diperoleh, maka didapat persamaan

    -\frac{r}{2}=\frac{-2rt}{4r+2t}

    t=2r

    Jadi tabung paling ekonomis dicapai ketika panjang tinggi sama dengan diameternya.

    Like

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

w

Connecting to %s