Bukan Fungsi Lipschitz

Hendra Gunawan

Problem (mudah): Buktikan bahwa f(x) = \sqrt{x} bukan merupakan fungsi Lipschitz pada [0,1].

Catatan. Pada artikel sebelumnya, kita telah membahas bahwa fungsi Lipschitz pada interval I pasti kontinu seragam pada I. Fungsi f(x) =\sqrt{x} merupakan contoh yang memperlihatkan bahwa fungsi yang kontinu seragam pada I tidak harus memenuhi kondisi Lipschitz pada I. [O ya, fungsi yang kontinu pada interval tutup dan terbatas senantiasa kontinu seragam pada interval tersebut.]

*

Bandung, 22-05-2018

Published by Hendra Gunawan

I'm a professor of mathematics at the Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Bandung Institute of Technology, Bandung, Indonesia.

3 Comments

  1. Andaikan fungsi f merupakan fungsi Lipschitz pada I = [0,1] , maka terdapat K > 0 sedemikian sehingga |f(x) - f(y)| = |\sqrt{x} - \sqrt{y}| \le K|x - y| untuk setiap x,y \in I . Menurut sifat Archimedes terdapat N \in \mathbb{N} sedemikian sehingga N > 3K . Pilih x = \frac{1}{N^2} dan x = \frac{1}{4N^2} . Maka kita peroleh \frac{1}{2N} = |\sqrt{\frac{1}{N^2}} - \sqrt{\frac{1}{4N^2}}| \le K|\frac{1}{N^2} - \frac{1}{4N^2}| < \frac{N}{3}\frac{3}{4N^2} = \frac{1}{4N} .
    Kontradiksi. Jadi mestilah f bukan merupakan fungsi Lipschitz pada I .
    [QED]

    Like

    Reply

  2. Maaf ada kesalahan pada jawaban sebelumnya.
    Andaikan fungsi f merupakan fungsi Lipschitz pada I = [0,1] , maka terdapat K > 0 sedemikian sehingga |f(x) - f(y)| = |\sqrt{x} - \sqrt{y}| \le K|x - y| untuk setiap x,y \in I . Menurut sifat Archimedes terdapat N \in \mathbb{N} sedemikian sehingga N > 3K . Pilih x = \frac{1}{N^2} dan y = \frac{1}{4N^2} . Maka kita peroleh \frac{1}{2N} = |\sqrt{\frac{1}{N^2}} - \sqrt{\frac{1}{4N^2}}| \le K|\frac{1}{N^2} - \frac{1}{4N^2}| < \frac{N}{3}\frac{3}{4N^2} = \frac{1}{4N} .
    Kontradiksi. Jadi mestilah f bukan merupakan fungsi Lipschitz pada I .
    [QED] TERBUKTI

    Like

    Reply

  3. Andaikan fungsi f merupakan fungsi Lipschitz pada I = [0,1] , maka terdapat K > 0 sedemikian sehingga |f(x) - f(y)| = |\sqrt{x} - \sqrt{y}| \le K|x - y| untuk setiap x,y \in I . Menurut sifat Archimedes terdapat N \in \mathbb{N} sedemikian sehingga N > 3K . Pilih x = \frac{1}{N^2} dan y = \frac{1}{4N^2} . Maka kita peroleh \frac{1}{2N} = |\sqrt{\frac{1}{N^2}} - \sqrt{\frac{1}{4N^2}}| \le K|\frac{1}{N^2} - \frac{1}{4N^2}| < \frac{N}{3}\frac{3}{4N^2} = \frac{1}{4N}.
    Kontradiksi. Jadi mestilah f bukan merupakan fungsi Lipschitz pada I .
    [QED]

    Like

    Reply

Leave a comment