Fungsi Kontraktif dan Fungsi Lipschitz

Dalam Teorema Titik Tetap Banach, saya telah memperkenalkan fungsi kontraktif (pada ruang metrik). Untuk lebih mudahnya, misalkan I \subseteq {\bf R} adalah suatu interval. Fungsi f: I \to I dikatakan kontraktif pada I apabila terdapat suatu bilangan K \in (0,1) sedemikian sehingga

|f(x)-f(y)|\le K|x-y|

untuk setiap x,y\in I.

Perhatikan bahwa fungsi kontraktif pada I pasti kontinu seragam pada I: Untuk setiap \epsilon>0 terdapat \delta=\epsilon/K sedemikian sehingga jika |x-y|<\delta, maka |f(x)-f(y)|\le K|x-y|< K\delta = \epsilon.

Lebih ringan daripada kondisi kontraktif, ada kondisi Lipschitz yang hanya mempersyaratkan keberadaan K >0 sedemikian sehingga

|f(x)-f(y)|\le K|x-y|

untuk setiap x,y\in I.

Seperti halnya fungsi kontraktif, fungsi Lipschitz pada I pasti kontinu seragam pada I. Contoh fungsi Lipschitz adalah f(x) = \sin x,\ x\in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]. Dalam hal ini terdapat K=1 sedemikian sehingga

|\sin x-\sin y| \le |x-y|

untuk setiap x,y\in [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}]. (Catatan. Ketaksamaan di atas dapat dibuktikan dengan menggunakan Teorema Nilai Rata-Rata untuk turunan.)

*

Bandung, 19-05-2018

Advertisements

1 Comment

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

w

Connecting to %s