Barisan Cauchy yang Bukan Barisan Kontraktif

Problem: Buktikan bahwa barisan (\frac1n) merupakan barisan Cauchy tetapi bukan barisan kontraktif.

*

Bandung, 15-05-2017

Advertisements

5 Comments

  1. Belum ada yang jawab, nih. Saya ikut jawab aja ya Prof.
    Untuk sebarang \varepsilon >0 dapat dipilih n_{0}>\frac{2}{\varepsilon} sehingga untuk setiap n,m > n_{0} berlaku
    |\frac{1}{n}-\frac{1}{m}|\leq |\frac{1}{n}|+|\frac{1}{m}|=\frac{1}{n}+\frac{1}{m}<\varepsilon. Terbukti {\frac{1}{n}} merupakan barisan Cauchy.

    Andaikan \frac{1}{n} merupakan barisan kontraktif, pastilah terdapat C\in (0,1) memenuhi
    |\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}|\leq C|\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}|
    Perhatikan bahwa \frac{n(n+1)}{(n+1)(n+2)}\leq C, di lain pihak
    \frac{n(n+1)}{(n+1)(n+2)} \rightarrow 1 ketika n\rightarrow\infty
    Terjadi kontradiksi dengan kondisi C\in (0,1). Jadi \frac{1}{n} mestilah bukan barisan kontraktif.

    Like

  2. Saya akan membuktikan bahwa barisan bilangan real (x_n) yang didefinisikan dengan x_n = \frac{1}{n} tidak kontraktif. Ambil sebarang C \in (0,1) , maka menurut Sifat Archimedes terdapat N \in \mathbb{N} sedemikian sehingga N > \frac{2C}{1-C}
    \Leftrightarrow   N(1-C) > 2C
    \Leftrightarrow   N > C(N+2)
    \Leftrightarrow   \frac{1}{N+2} > \frac{C}{N}
    \Leftrightarrow   \frac{(N+2)-(N+1)}{(N+2)(N+1)} > C\frac{(N+1)-N}{(N+1)N}
    \Leftrightarrow  | \frac{1}{N+2} - \frac{1}{N+1}| > C| \frac{1}{N+1} - \frac{1}{N}|
    \Leftrightarrow  | x_{N+2} - x_{N+1}| > C| x_{N+1} - x_N|
    Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa barisan (x_n) tidak kontraktif. [QED]

    Like

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out /  Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out /  Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out /  Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out /  Change )

Connecting to %s