Tripel Pythagoras dan Persamaan Pell

Mencari segitiga dengan alas dan tinggi berselisih 1 sedemikian sehingga alas, tinggi, dan sisi miringnya merupakan tripel Pythagoras sama saja dengan mencari tripel bilangan asli (a, a + 1, c) yang memenuhi persamaan a² + (a + 1)² = c². Dengan memisalkan a = ½(x – 1) untuk suatu bilangan ganjil x, persamaan ini setara dengan persamaan

yang dapat disederhanakan menjadi x² – 2c² = −1. Bila x dan c adalah pasangan bilangan asli yang memenuhi persamaan ini, maka (½(x – 1), ½(x + 1), c) merupakan tripel Pythagoras yang dicari (asalkan x > 1).

Persamaan terakhir merupakan sebuah persamaan Pell negatif (negative Pell’s equation). Solusi dasar persamaan tersebut adalah x₀ = 1 dan c₀ = 1. Solusi lainnya dapat diperoleh secara iteratif dari rumus

dengan n = 1, 2, 3, … . Sila cek bahwa

untuk setiap n = 1, 2, 3, … .

Menggunakan rumus di atas, untuk n = 1 kita peroleh x₁ = 7 dan c₁ = 5; untuk n = 2 kita peroleh x₂ = 41 dan c₂ = 29, dan untuk n = 3 kita peroleh x₃ = 239 dan c₃ = 169. Dari tiga solusi ini kita peroleh tiga tripel Pythagoras pertama, yaitu (3, 4, 5), (20, 21, 29), dan (119, 120, 169).

*

Bandung, 23-01-2018